matematikk.net

Hei!

Sitter med en oppgave her som lydes slik:

La D være området i R^2 som oppfyller : x^2 + y^2 <= 1, x > 0, y > 0 og
0 <= y <= x

Lag en skisse av området og beregn dobbelt integralet I = [symbol:integral] [symbol:integral] (x + y^2)dA ved å inføre polarkoordinater.

Denne delen er ok, men det er den første delen jeg ikke forstår hvordan jeg skal løse denne ulikheten og finne de nødvendige grensene for å kunne løse integralet etter at jeg har konvertert det kartesise integralet om til polarkoordinater.

Kan noen hjelpe meg??

Det hjelper mye å se på hvilke kurver du får når du kun ser på likhetene. Da har du her [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex] og [tex]y = x[/tex]. Den første ligningen gir en sirkel med senter i origo og radius 1. Den andre ligningen er linja gjennom origo med radius 1. Ulikhetene x > 0 og y > 0 gir at området er i første kvadrant. Ulikheten [tex]x^2 + y^2 \leq 1[/tex] gir videre at området er innenfor sirkelen med radius 1 og senter i origo. Ulikheten [tex]0 \leq y \leq x[/tex] gir videre at området skal ligge under linja y = x.

For å finne grensene så vet du at radien vil måtte gå fra 0 til 1 (fra origo og ut til sirkelbuen.) Vinkelen må gå fra 0 og opp til vinkelen som linja y = x danner med positiv x-akse. Denne vinkelen finner du ved å ta arctan av stigningstallet til linja.

Å ja! da skjønner jeg, viste ikke at man kunne anta at likningen er lik som gjør at vi får y = x som er en 45 graders linje eller pi/4 i radianaer altså går grensen til teta fra 0 til pi/4.

Men hva er det som gir x = y i denne likningen?

Kan man gjøre dette til en generell regel? At man antar at de er like og ikke ulike slik du antok nå?

Tusen takk for hjelpen.

Det er ikke akkurat en antagelse. Altså, hvis det hadde stått 0 < y < x så betyr det at y skal ligge mellom 0 og x. Så alle punkter der y er større enn 0 og y er mindre enn x, skal være med i området. Linja y = x må da bli ytterkanten som avgrenser (men ikke er med i) området, siden dette er akkurat på grensen der x og y er like. Grafisk må y < x bety alle punkter som ligger under denne linja, siden y da vil være mindre enn x. Du kan alltid gjør dette for å finne kurvene som avgrenser områdene det er snakk om. Deretter tolker du ulikhetene og ser om området skal ligge innenfor eller utenfor kurven osv. ([tex]x^2 + y^2 \geq 1[/tex] ville f.eks. betydd alle punkter som ikke ligger innafor sirkelen med radius 1 og senter i origo.)