matematikk.net

Hei.

Jeg er litt usikker på om jeg har brukt riktig fremgangsmåte på følgende oppgave. Det stopper nemlig opp på et punkt.


Suppose that [tex]a[/tex] and [tex]b[/tex] are nonzero real numbers. Prove that if [tex]a < \frac{1}{a} < b < \frac{1}{b}[/tex] then [tex]a < -1[/tex].

OK. Jeg tar her utgangspunkt i hva som skjer dersom [tex]a \geq -1[/tex]. Da har vi:

Anta at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er relle tall som ikke er lik [tex]0[/tex]. Anta så videre at [tex]a \geq -1[/tex]. Da kan det ikke stemme at [tex]a < \frac{1}{a} < b < \frac{1}{b}[/tex] . Dersom [tex]a \geq -1[/tex] får vi at : [tex]1 \geq -\frac{1}{a}[/tex] som gir [tex]-1 \geq \frac{1}{a}[/tex]. Altså har vi at [tex]a \geq -1 \geq \frac{1}{a}[/tex]. Dette beviser første del av beviset (som gjelder [tex]a[/tex]-verdiene).

Jeg vet imidlertid ikke hvordan jeg skal gå videre herfra, og da spesielt hvordan jeg skal vurdere [tex]b[/tex] verdiene. Jeg er ikke helt overbevist om at jeg har valgt riktig fremgangsmåte. Setter veldig stor pris på litt hjelp!

Jeg ville begynt med å finne alle [tex]a[/tex] som tilfredsstiller [tex]a<\frac1a[/tex].

Hint, marker teksten for å se:

Du vil få at a må tilhøre ett av to mulige intervaller. Siden b har samme egenskap, må b også tilhøre ett av disse intervallene. Se om dette får hjulene til å gli. =)

Takk skal du ha.

Jeg ser av dette at vi får:

[tex]0 < a < 1[/tex] og [tex]a < -1[/tex].

Det samme gjelder for [tex]b[/tex]

Hva skal jeg så gjøre videre herfra? Jeg er rimelig grønn på bevisføring, og har akkurat begynt å jobbe med dette . Er det riktig å si at ettersom vi vet at [tex]a < b[/tex] så må [tex]a[/tex] ligge i intervallet [tex]a < -1[/tex]?

Nei, det er ikke nok. Hva med a=0.1 og b=0.2. Da er a<b og begge er i (0,1).

Her er en mulig fremgangsmåte.
Hva med å anta at begge to ligger i (0,1)? Kan ulikheten oppfylles? Hva om begge ligger i (<-,-1)? En i (<-,-1) og den andre i (0,1)? Prøv de ulike kombinasjonene og se om ulikheten kan oppfylles i hvert tilfelle.

Ja, det er jo logisk at man må sjekke dette .

Det er ikke mulig at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] kan ligge i samme intervall ettersom vi da kan finne eksempler hvor [tex]a > b[/tex]. Det samme gjelder dersom [tex]a[/tex] er i intervallet [tex]0 < a < 1[/tex] og [tex]b[/tex] er i intervallet [tex]b < -1[/tex]. Da gjenstår muligheten at [tex]a < -1[/tex] og [tex]0 < b < 1[/tex]. I dette tilfellet vil ulikheten oppfylles for alle [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] og vi ser dermed at ulikheten medfører at [tex]a < -1[/tex].

Tusen takk for hjelpen!

Vil det forresten være mulig å bevise dette gjennom fremgangsmåten min? Grunnen til at jeg valgte den fremgangsmåten jeg gjorde er nemlig at seksjonen jeg leser gjennom har flere eksempler på dette. Altså at man skal bevise at [tex]P \rightarrow Q[/tex] og snur dette om slik at beviset blir på formen IKKE [tex]Q \rightarrow[/tex] IKKE [tex]P[/tex].

krje1980 wrote:Det er ikke mulig at [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] kan ligge i samme intervall ettersom vi da kan finne eksempler hvor [tex]a > b[/tex]

Dette holder ikke. Du har også par (a,b) slik at a<b, men hvordan blir det da med ulikheten vi er interessert i, [tex]a<\frac1a < b < \frac1b[/tex] ?

Hvis du vil bruke transposisjon av påstander, må du anta at [tex]a\geq-1[/tex] og bruke dette til å vise at ulikheten da ikke kan være oppfylt.

Desverre er det en logisk brist i innlegget ditt. Det stemmer ikke at [tex]1\geq -\frac1a[/tex] medfører [tex]-1\geq \frac1a[/tex]. [tex]1\geq -\frac1a[/tex] medfører derimot at [tex]-1\leq \frac1a[/tex]. Det skal være fullt mulig å bevise påstanden med denne fremgangsmåten.

Ja, selvsagt. Når man multipliserer en ulikhet med et negativ tall på begge sider, må man jo snu ulikhetstegnet. Dårlige greier fra min side!

Jeg ser at jeg trenger mer trening i bevisføring (nå er det bare ca 1 uke siden jeg begynte på boken, så det blir litt fomling)!

Når det gjelder det du sier, så er det vel slik at hvis vi f.eks. tar utgangspunkt i intervallet [tex](0,1)[/tex] så vil det ikke være mulig at ulikheten oppfylles ettersom [tex]\frac{1}{a} > b[/tex] (må jeg bevise dette noe ytterligere?). Samme situasjon får vi i intervallet [tex](-\infty, -1)[/tex] .

Kan du være så snill å vise meg hvordan jeg også kan løse dette gjennom transposisjon av påstander? Det ville jeg satt veldig stor pris på!

Bevisføring er en erfaringssak. Før du vet ordet av det så kan du overføre alt arbeidet til pennen din!


Hint med spoiler-alarm. Ikke les mer hvis du vil prøve mer selv.

----------------------------------- OBS! Spoiler --------------
Man kan ikke bruke algebra på ulikhetene siden du ikke vet om a er negativ eller positiv, og det blir fort veldig grisete om du skal ta hensyn til begge deler. Trikset i denne oppgaven er at du først beviser at a må være negativ.

Steg 1. Antar at a>0 - altså at a er positiv. Siden b>a, så er b også positiv. Fra ulikhetene a<1/a og b<1/b så ser du at a og b må ligge i intervallet (0,1). Dette betyr at 1<1/a og 1<1/b. men når du kombinerer b<1<1/a så bryter du med antagelsene gitt i oppgaven! Du har utledet en selvmotsigelse, så du kan konkludere at antagelsen a>0 er gal. Dette betyr at a<0, siden a er ulik null fra premissene i oppgaven.

Nå trenger du egentlig ikke b lenger. Nå kan du bare finne for hvilke negative a ulikheten a<1/a er oppfylt. (Jeg begynte med å finne ut når de er like).

Når jeg tenker meg litt om etter å ha skrevet hele innlegget, så ble jeg litt usikker på om du har lest om bevis ved selvmotsigelse (proof by contradiction). Vel, så lenge du forstår logikken så er det ikke så farlig!

Tusen takk, Markonan!

Det er et eksempel på bevis ved contradiction i seksjonen, så jeg burde ha prøvd dette.

Jeg får faktisk til en del av oppgavene, men av og til blir jeg litt usikker på hvilken metode som egner seg best. Boken skriver også at det vil ta en tid før man blir erfaren nok til å "se" dette raskt, så det er nok fremdeles håp for meg . Så lenge jeg får til en del av bevisene så føler jeg at jeg er på rett vei!

Det hender det finnes flere veier til mål i bevisoppgaver, men det blir en erfaringssak å se hvilken angrepsvinkel er den mest effektive og elegante. Her er for eksempel Markonans fremgangsmåte mye bedre enn mitt "brute force"-forslag.

Hei igjen.

Ja, men jeg forstår utmerket din fremgangsmåte også, Espen. Jeg vet jo også at det er flere veier til målet, men, som du sier, så er det vel en erfaringssak å kunne raskt se den mest effektive måten.

For å unngå å starte en ny tråd lurer jeg på om dere kan se om jeg har klart å løse følgende to oppgaver riktig:

Oppgave 1:

Suppose [tex]A \subseteq C[/tex], and [tex]B[/tex] and [tex]C[/tex] are disjoint. Prove that if [tex]x \in A[/tex], then [tex]x \notin B[/tex].

Løsning:

Bruker kontradiksjon.

Anta at [tex]x \in B[/tex]. Da vil, ettersom [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] er disjunkte, [tex]x \notin C[/tex]. Vi vet imidlrtid at [tex]x \in A[/tex] og at [tex]A \subseteq C[/tex]. Altså må [tex]x \in C[/tex] som er en kontradiksjon til at [tex]x \notin C[/tex]. Derfor må [tex]x \in B[/tex].


Oppgave 2:

Suppose that [tex]x[/tex] and [tex]y[/tex] ar real numbers. Prove that if [tex]x \not= 0[/tex], then if [tex]y = \frac{3x^{2} + 2y}{x^{2} + 2}[/tex] then [tex]y=3[/tex].

Løsning:

Begynner med kontradiksjon.

Anta at [tex]x=0[/tex]. Setter vi dette inn i uttrykket for [tex]y[/tex] får vi:

[tex]y = \frac{2y}{2} = y[/tex]. Dette er en kontradiksjon til at [tex]y = 3[/tex].

Anta så at [tex]x \not= 0[/tex]. Løser vi uttrykket for [tex]y[/tex] får vi da:

[tex]y = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{2y}{x^{2} + 2}[/tex]

[tex] y - \frac{2y}{x^{2} + 2} = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(1 - \frac{2}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{2}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex]

[tex]y = \frac{\frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 2}} = 3[/tex]

Dermed er beviset komplett.

krje1980 wrote: Bruker kontradiksjon.

Anta at [tex]x \in B[/tex]. Da vil, ettersom [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex] er disjunkte, [tex]x \notin C[/tex]. Vi vet imidlrtid at [tex]x \in A[/tex] og at [tex]A \subseteq C[/tex]. Altså må [tex]x \in C[/tex] som er en kontradiksjon til at [tex]x \notin C[/tex]. Derfor må [tex]x \in B[/tex].

Ser bra ut, hvis det skal være [tex]\not\in[/tex] på den siste linjen.

Du kunne også startet med å bevise at siden B og C er disjunkte så er
[tex]C\subseteq B^c [/tex]
Derfor har vi:
[tex]x\in A\subseteq C\subseteq B^c \;\Longrightarrow\; x\in B^c \;\Longleftrightarrow\; x\not\in B.\;\;\box[/tex]

krje1980 wrote: Oppgave 2:

Suppose that [tex]x[/tex] and [tex]y[/tex] ar real numbers. Prove that if [tex]x \not= 0[/tex], then if [tex]y = \frac{3x^{2} + 2y}{x^{2} + 2}[/tex] then [tex]y=3[/tex].

Løsning:

Begynner med kontradiksjon.

Anta at [tex]x=0[/tex]. Setter vi dette inn i uttrykket for [tex]y[/tex] får vi:

[tex]y = \frac{2y}{2} = y[/tex]. Dette er en kontradiksjon til at [tex]y = 3[/tex].

Anta så at [tex]x \not= 0[/tex]. Løser vi uttrykket for [tex]y[/tex] får vi da:

[tex]y = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2} + \frac{2y}{x^{2} + 2}[/tex]

[tex] y - \frac{2y}{x^{2} + 2} = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(1 - \frac{2}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 2} - \frac{2}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex].

[tex]y(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2}) = \frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}[/tex]

[tex]y = \frac{\frac{3x^{2}}{x^{2} + 2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 2}} = 3[/tex]

Dermed er beviset komplett.

Bra! Kunne kanskje spesifisert at når du antar x=0 så er løsningen gyldig for alle y. Det tok meg litt tid før jeg så det, og et bra bevis skal være enkelt å forstå, ikke sant?

Takk skal du ha.

Ja, det skal selvsagt være [tex]x \notin B[/tex] til slutt i første oppgave. Dette var slurv i Latex fra min side. På papiret mitt er det riktig .

Og du har rett, det er nok greit at jeg nevner at når x = 0 så er alle verdier for y gyldige slik at det blir, som du sier, lett å forstå .

Unødvendig å ta for seg tilfellet x=0.

plutarco wrote:Unødvendig å ta for seg tilfellet x=0.

Takk for tipset. Det spiller vel egentlig ikke noen rolle hva x = 0 gir. Det eneste vi skal bevise er jo at y = 3 så fremt x ikke er lik 0.