Prove that [tex]\forall x \in \mathbb{R}[\exists y \in \mathbb{R}(x + y = xy) \leftrightarrow x \not= 1][/tex].
Løsning.
Vi begynner med å bevise at [tex]\forall x \in \mathbb{R}[\exists y \in \mathbb{R}(x + y = xy) \rightarrow x \not= 1][/tex].
Bruker kontradiksjon.
Anta at [tex]x=1[/tex]. Vi har at [tex]x + y = xy[/tex] for minst en verdi for [tex]y \in \mathbb{R}[/tex]. Men når vi setter inn for [tex]x[/tex] får vi:
[tex]1 + y = y[/tex] som er umulig ettersom [tex]1 + y \not= y[/tex]. Dette er en kontradiksjon og vi kan dermed konkludere at [tex]x \not= 1[/tex].
Vi så skal så bevise at
[tex]\forall x \in \mathbb{R}[\exists y \in \mathbb{R}(x + y = xy) \leftarrow x \not= 1][/tex].
Først legger vi merke til at dersom vi løser [tex]x + y = xy[/tex] for [tex]y[/tex] får vi at:
[tex]y = \frac{x}{x - 1}[/tex].
Vi kan dermed formulere beviset som følger:
La [tex]x[/tex] være et vilkårlig tall, [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]. Vi har, ettersom [tex]x + y = xy[/tex] at [tex]y = \frac{x}{x - 1}[/tex] som er definert ettersom [tex]x \not= 1[/tex]. Setter vi inn i ligningen for [tex]y[/tex] får vi:
[tex]x + y = x + \frac{x}{x-1}[/tex]
[tex]= \frac{x(x -1)}{x-1} + \frac{x}{x - 1}[/tex]
[tex]= \frac{x^{2} - x + x}{x - 1}[/tex]
[tex] = \frac{x^{2}}{x - 1} = x\frac{x}{x-1} = xy[/tex].
Vi har dermed vist at
[tex]\forall x \in \mathbb{R}[\exists y \in \mathbb{R}(x + y = xy) \leftrightarrow x \not= 1][/tex].
Setter som sagt stor pris på om noen kan gi beskjed om dette ser greit ut
.