matematikk.net

Setter veldig stor pris på om noen kan se om jeg har løst følgende oppgave korrekt:


Let [tex]U[/tex] be any set. Prove that there is a unique [tex]A \in \mathscr{P}(U)[/tex] such that for every [tex]B \in \mathscr{P}(U), A \cup B = A[/tex].


Forslag til løsning:

La [tex]A = B[/tex]. Da har vi at for alle [tex]B \in \mathscr{P}(U), A \cup B = B \cup B = B = A[/tex].

For å vise at løsningen er unik, antar vi at [tex]C \in \mathscr{P}(U)[/tex] og at for alle [tex]B \in \mathscr{P}(U), C \cup B = A[/tex]. Dersom vi setter [tex]B = \emptyset[/tex] får vi at [tex]C \cup \emptyset = A[/tex]. Vi må derfor ha at [tex]C = A[/tex].

På forhånd takk

A=B er ikke en gyldig løsning ettersom B ikke er en fast størrelse.

Du må finne en A slik at uansett hvilken B du velger, har du [tex]A\cup B = A[/tex].

Følgelig må enhver undermengde til U være inneholdt i A.

OK. Takk skal du ha. Jeg skal se nærmere på det.

Hva om jeg setter [tex]A = U[/tex]? Da vil jo [tex]A[/tex], og alle subsett av [tex]A[/tex] utgjøre hele [tex]\mathscr{P}(A)[/tex]. Enhver [tex]B[/tex] vil dermed være et element av [tex]A[/tex].

Ja, U vil være en mengde som oppfyller de kravene.
Og entydighetsdelen ser bra ut!

Bevis av denne typen kommer du sannsynligvis til å se mye av de neste årene!

Markonan wrote:Ja, U vil være en mengde som oppfyller de kravene.
Og entydighetsdelen ser bra ut!

Bevis av denne typen kommer du sannsynligvis til å se mye av de neste årene!

Vel, nå har jeg tenkt å gå i retning av anvendt matematikk, så det blir primært fag som går på algoritmer, differensialligninger, mekanikk, simulering, etc. som vil inngå i utdanningsplanen. Oppgaver av typen over er vel mer brukt i ren matematikk (analyse og topologi)? Men nå i løpet av det neste året skal jeg gjennom både reell analyse og funksjonalanalyse. Så jeg er mentalt forberedt på at det blir mye bevisføring fremover.

Forøvrig er Vellemans bok, som denne oppgaven er hentet fra, veldig bra så snart man har kommet seg gjennom de to litt kjedelige og lingivstisk-orienterte introduksjonskapitlene .

Antar dere mener at P(U) er potensmengden til U. I så fall er den unike A slik at A union B=A ikke U, men P(U). Husk at elementene i P(U) er delmengder av U, ikke elementer i U.

Sikker på det?

Hvis
[tex]U = \{a, b\}[/tex]
så er
[tex]\mathscr{P}(U) = \big\{U, \{a\}, \{b\}, \emptyset\big\}[/tex].

For en [tex]B\in\mathscr{P}(U)[/tex] kan vi ha f.eks [tex]B = \{a\}[/tex]

Hvis [tex]A = U[/tex], så har vi jo
[tex]A\cup B = U\cup\{a\} = U = A[/tex].

Kanskje litt dårlig illustrert, men det er forskjell på [tex]a[/tex] som er et element i [tex]U[/tex], og [tex]\{a\}[/tex] som er en delmengde av [tex]U[/tex].

krje1980 wrote: Forøvrig er Vellemans bok, som denne oppgaven er hentet fra, veldig bra så snart man har kommet seg gjennom de to litt kjedelige og lingivstisk-orienterte introduksjonskapitlene .

Så bra du liker den!

Nei, bare glem det jeg skrev. Dere har rett

Tusen takk for hjelpen!

krje1980 wrote: For å vise at løsningen er unik, antar vi at [tex]C \in \mathscr{P}(U)[/tex] og at for alle [tex]B \in \mathscr{P}(U), C \cup B = A[/tex]. Dersom vi setter [tex]B = \emptyset[/tex] får vi at [tex]C \cup \emptyset = A[/tex]. Vi må derfor ha at [tex]C = A[/tex].

Tror kanskje jeg var litt kjapp med å bli enig i denne.

Det skal jo være en annen tenkt mengde [tex]C[/tex] som oppfyller nøyaktig de samme kravene som [tex]A[/tex].

Dvs du skal anta det er en [tex]C\in\mathscr{P}(U)[/tex] slik at for alle [tex]B \in \mathscr{P}(U)[/tex] så vil vi ha [tex]C \cup B = C[/tex].

Spoiler:

Men om du antar dette om C så kan man vise at C og A er delmengder av hverandre, og derfor like. Siden C\cup A = C impliserer at A\subseteq C, og motsatt.

Takk skal du ha, Markonan! Jeg ser at jeg kludret til denne oppgaven en del ja. Men husk at for hver oppgave jeg legger inn her er det 5-6 som jeg får til uten problemer .