matematikk.net

Inverse funksjoner er når en funksjon er one-to-one gitt ved å uttrykke x som funksjon av y for eks:

[tex]y=e^x[/tex] gir den inverse:


[tex]lny=x[/tex] altså [tex]y=lnx[/tex] når man setter inn den inverse i den opprinnelige funksjonen som en composit funksjon slik at den inverse er variabelen får man alltid x:

[tex]y=e^{ln x}=x[/tex]

I tillegg skal det være slik at den inverse funksjonen og den opprinnelige definerte funksjonen er symmetriske om y=x

Dette er ganske greit se for lineære funksjoner som for for eksempel:

y=2x da blir den inverse funksjonen

[tex]x=\frac{y}{2}[/tex] [tex]y=\frac{x}{2}[/tex]

Da ser man lett at disse to grafene er symmetriske om y=x fra forhåndstall men for funksjonen [tex]y=e^x[/tex] blir det veldig gresk for meg å forstå slikt. Er dette mlig å forklare eller skjønne litt på en eller annen måte at

[tex]y=e^{lnx}=x[/tex] har jeg jo skjønt da siden e opphøyd i hva man må opphøye e for å få x blir x. Men symmetrien ble litt vanskelig å tenke seg fram til her.

Husk at for hvert punkt [tex](x,y)[/tex] på [tex]f[/tex] har vi et korresponderende punkt [tex](y,x)[/tex] på [tex]f^{-1}[/tex]. At disse to punktene speiler hverandre langs [tex]y=x[/tex] er muligens åpenbart?

Se for eksempel for deg [tex](2,5)[/tex] i et koordinatsystem. Punktet ligger to steg i x-retningen og fem steg i y-retningen. Punktet på en eventuell invers funksjon, [tex](5,2)[/tex] ligger derimot fem steg i x-retningen og to steg i y-retningen. Hvis du ser det for deg, skjønner du at disse er speilbilder av hverandre langs diagonalen [tex]y=x[/tex].

Et forsøk på å forklare det utifra min forståelse av emnet. Har ikke hatt om det så det ble antakeligvis ikke så rigorøst.

Har vært uten nett et par dager nå men takk svinepels du forsto det her på en mye lettere måte enn meg.