matematikk.net

Hvordan viser jeg at [tex]\arctan(x) \, + \, \arctan(1/x) \, = \, \frac{\pi}{2} [/tex]?

Mmm, tenkte litt og tegnet litt. Holder dette beviset?



Men hvordan viser jeg at

[tex]\arctan( \, f(x) \, ) \, + \, \arctan( \, f(x)^{-1} \, ) \, = \, \frac{\pi}{2} [/tex]?

Trenger det til å vise at

[tex]\arctan( \, e^x \, ) \, + \, \arctan( \, e^{-x} \, ) \, = \, \frac{\pi}{2} [/tex]

"Beviset" mitt ovenfor gjelder vel bare når [tex]\phi[/tex] er en vinkel og at [tex]\phi\in(0,2\pi)[/tex]

All hjelp motas med takk =)

Noko usikker om dette held formelt som bevis, men eg ville tenkt noko a'la dette:

La [tex]f(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)[/tex] for [tex]x>0[/tex]. På intervallet [tex](0,\infty)[/tex] er funksjonen deriverbar og [tex]\frac{df}{dx} = 0[/tex]. Altså må funksjonen [tex]f(x)[/tex] vere konstant for [tex]x>0[/tex]. Derfor har me at [tex]f(x) = f(1) = \frac{\pi}{2}[/tex].

(kan tilsvarande vise for [tex]x<0[/tex] at [tex]\arctan(x)+\arctan\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{\pi}{2}[/tex])