matematikk.net

Prøvde å løse likningen under

[tex](3x)^{(2x)}=(2x)^{(3x)}[/tex]

Om vi ser bort ifra [tex]x=0[/tex], så tippet jeg en løsning og brukte newtons tilnærmingsmetode (mye styr...). Og etter litt tipping, kom jeg frem til at løsningen var [tex]x=\frac{9}{8}[/tex]

Om vi ser nærmere på det generelle tilfellet

[tex](ax)^{(bx)}=(bx)^{(ax)}[/tex]

Og mater dette inn i en kalkulator, ser jeg at

[tex]x=[/tex][tex]\Large \frac{1}{a \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{a}{a-b}}}[/tex]

Som gir oss riktig svar når jeg puttet inn [tex]a=3[/tex] og [tex]b=2[/tex].

Noen idè om hvordan jeg løser [tex](ax)^{(bx)}=(bx)^{(ax)}[/tex] slik at jeg kommer frem til svaret? Har prøvd med logaritmer, men ble ikke så mye klokere.

[tex] {\left( {ax} \right)^{\left( {bx} \right)}} = {\left( {bx} \right)^{\left( {ax} \right)}} [/tex]

[tex]bx\ln \left( {ax} \right) = ax\ln \left( {bx} \right) [/tex]

[tex] x\left( {b\ln \left( {ax} \right) - a\ln \left( {bx} \right)} \right) = 0[/tex]

[tex] b\ln \left( {ax} \right) - a\ln \left( {bx} \right) = 0 [/tex]

Hjelp ?

Hint:

[tex](ax)^{(bx)}=a^{(bx)}\cdot x^{(bx)}[/tex]

[tex]\frac{a^{(bx)}}{b^{(ax)}}=\left(\frac{a^b}{b^a}\right)^x[/tex].

Smart hint, men med hintet ditt ender i det minste jeg opp med, akkurat det samme som jeg kom frem til over. Nemlig at

[tex] x\ln \left( {\frac{{{a^b}}}{{{b^a}}}} \right) = x\ln \left( {\frac{{{x^a}}}{{{x^b}}}} \right) [/tex]

[tex] \frac{{{a^b}}}{{{b^a}}} = \frac{{{x^a}}}{{{x^b}}} [/tex]

Som jeg heller ikke vet hvordan jeg skal løse =(

Men dette fungerer vel bare om a og b er større enn null? Fikk i det minste feil svar når jeg lot a og b være mindre.

Fungerer vel på samme måte som svaret du presenterte i første innlegget ditt.

[tex]\left(\frac{a^b}{b^a}\right)=\frac{x^a}{x^b}=x^{(a-b)}[/tex]

som gir

[tex]x = \left(\frac{a^b}{b^a}\right)^{\frac{1}{(a-b)}}[/tex]

Redigerte innlegget mitt, to ganger. Kom frem til akkuratt det du skrev. Men redigerte inn problemet mitt, i steden for der det stod at jeg klarte omformingen.

=)

Uansett

[tex]x=\left( \frac{a^b}{b^a} \right)^{\frac{1}{a-b}}[/tex]

Setter vi [tex]a=-4[/tex] og [tex]b=-2[/tex] får vi at [tex]x=1[/tex]. Men løsningen er [tex]x=-1[/tex] ... Og [tex]x=1[/tex] er ingen løsning. Ellers funker det fjell når begge er positive.

Sant det, gjelder når begge er positive. Hvis begge er negative så blir det litt tull med hvordan man manipulerer eksponentene.

Man har a^b/b^a = x^(a-b). Hvis a og b er heltall og a-b er et partall må man ta hensyn til både den positive og negative løsningen for x.