matematikk.net

[symbol:integral] ln x dx = ??

Skjønner ikke hvorfor fasiten sier at svaret er:

x ln x -x + c

...???

http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+lnx

trykk show steps...

Det skjønte jeg ikke, jeg trykket på linken
Kom bare noe reklame for iPad greier og stod ingen steder "show steps"

Nå så jeg linken:

Men jeg skjønner ikke hvorfor det blir sånn?

[symbol:integral] ln x dx = x * ln x - x + c ??

Er det en integrasjons regel for ln x?

Du må bruke delvis integrasjon og et lite triks:

[tex]\int ln x dx = \int 1 \cdot ln x dx[/tex]

Setter:

[tex]u^\prime = 1 \, \, \text{og} \, \, v = ln x [/tex]

[tex]u = x \, \, \text{og} \, \, v^\prime = \frac{1}{x}[/tex]

Tar du resten selv?


Dette er på en måte et "standard eksempel" som svært ofte er vist i lærebøker, finner du det ikke der?

Et slikt eksempel har jeg ikke i boken,
Jeg skjønner at du sikter til produkt regel, men den kan jeg bare for derivasjon.


Hvordan ser produkt regel ut for integrasjon?

Kan du vise meg videre?



P.s
Spør ikke på forum om noe jeg kan lese og se eksempel på fra boken min, forumet bruker jeg når jeg ikke lenger vet hva jeg skal gjøre og treng hjelp til å forstå
For mitt motto er ikke bare å akseptere, men jeg vil virkelig forstå!

Hvis du har to funksjoner f(x) og g(x) og ganger de sammen, så får du fra derivasjonsregelen for produkter:

[tex](f(x)\cdot g(x))^\prime = f^{\tiny\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\tiny\prime}(x)[/tex]

Integrerer mhp x på begge sider.
[tex]\int(f(x)\cdot g(x))^\prime dx = \int f^{\tiny\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\tiny\prime}(x) dx[/tex]

På venstresiden tar du integralet til den deriverte som bare blir funksjonen selv, siden derivasjon og integrasjon er omvendte operasjoner. På høyresiden kan du dele opp integralet over summen.

[tex]f(x)\cdot g(x) = \int f^{\tiny\prime}(x)\cdot g(x)dx + \int f(x)\cdot g^{\tiny\prime}(x) dx[/tex]

Flytter over og får:
[tex]\int f^{\tiny\prime}(x)\cdot g(x)dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)\cdot g^{\tiny\prime}(x) dx[/tex]

Dette er integrasjonsteknikken som kalles delvis integrasjon.

Du har
[tex]\int \ln x dx = \int 1\cdot\ln x dx[/tex]
der
[tex]f^{\tiny\prime}(x) = 1[/tex]
og
[tex]g(x) = \ln x[/tex].

Det du gjør nå er bare å finne f(x) og g'(x) og sette inn i formelen.