[tex]y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}[/tex]
[tex]2y = e^x - e^{-x}[/tex]
Ganger begge sider med e[sup]x[/sup], og får da e[sup]x[/sup]e[sup]-x[/sup] = 1.
[tex]e^{2x} - 2ye^x - 1 = 0[/tex]
Definerer z:=e[sup]x[/sup].
[tex]z^2 - 2yz - 1 = 0[/tex]
ABC-formelen:
[tex]z = \frac{2y\pm\sqrt{4y^2 + 4}}{2} = \frac{2y\pm2\sqrt{y^2 + 1}}{2} = y\pm\sqrt{y^2 + 1}[/tex]
Bruker at z=e[sup]x[/sup]:
[tex]e^x = y\pm\sqrt{y^2 + 1}[/tex]
[tex]x = \ln(y\pm\sqrt{y^2 + 1})[/tex]
Såvidt jeg kunne se er det bare når det er [tex]y + \sqrt{y^2+1}[/tex] som brukes som den inverse, dvs:
[tex]\sinh^{-1}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})[/tex]
men jeg vet ikke hvorfor. Du kan finne frem til sinh-uttrykket både med pluss og minus, om du finner den inverse til den inverse. Siden jeg regnet det ut, kan jeg like godt skrive det inn.
[tex]x = \ln(y+\sqrt{y^2 + 1})[/tex]
[tex]e^x = y+\sqrt{y^2 + 1}[/tex]
Definerer [tex]w:= \sqrt{y^2+1}[/tex] og merker oss at
[tex](y+w)(y-w) = y^2-w^2 = y^2 - (y^2 + 1) = -1[/tex]
[tex]e^x = y+w \;\Longrightarrow\; e^{-x} = \frac{1}{y+w}[/tex]
Fra samme uttrykk får vi den alternative:
[tex]e^x = y+w[/tex]
[tex]e^x(y-w) = (y+w)(y-w) = -1[/tex]
[tex]e^x = -\frac{1}{y-w}[/tex]
Målet vårt er å få y alene, som ikke er så lett å se hvordan man kan klare, men vi vet hva vi skal ende opp med, så vi vet hva som er lurt å prøve.
[tex]e^x - e^{-x} = -\frac{1}{y-w} - \frac{1}{y+w}[/tex]
Finner felles nevner med kryssmultiplikasjon.
[tex]e^x - e^{-x} = -\frac{y+w}{(y-w)(y+w)} - \frac{y-w}{(y+w)(y-w)}[/tex]
[tex]e^x - e^{-x} = -\frac{y+w}{-1} - \frac{y-w}{-1} = y+w + y-w = 2y[/tex]
[tex]y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}[/tex]
Som jeg nevnte finner du frem til den inverse når du bruker y-w som utgangspunkt også, siden w leddet etterhvert forsvinner og løsningen er 'uavhengig' av hva det er. Usikker på hvorfor det bare er +w som regnes som invers, men det har vel noe med definisjonsmengden eller noe å gjøre.
