matematikk.net

Gitt likninga [tex]9x^2+16y^2=144[/tex]

Hvordan går man frem for å finne sentrum og akse-krysninger?

Er det underforstått at sentrum ligger i origo fordi [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex]ikke gis som [tex](x-x_0)[/tex] og [tex](y-y_0)[/tex]?

dette er likning til ellipse

[tex]\frac{x^2}{4^2}\,+\,\frac{y^2}{3^2}\,=\,1[/tex]

Slik eg sjølve tenkjer når eg får likninger som kan minne om kjeglesnitt (her ein ellipse) er at eg prøver og omforme uttrykket til ei kjend form.

Generelt har du at ein ellipse kan skrivas på forma
[tex]\left( \frac{x-x_0}{a}\right)^2 + \left( \frac{y-y_0}{b}\right)^2 = 1[/tex]

Der [tex](x_0,y_0)[/tex] er sentrum til ellipsen med radiusane a og b. Du har då at
[tex]9x^2 + 16y^2 = 144 \Leftrightarrow \left( \frac{x}{4}\right)^2 + \left( \frac{y}{3}\right)^2 = 1[/tex]
som er ein ellipse med sentrum i origo og akseradius 4 og 3.

--------
For og avgjere kvar sentrum i ein ellipse er kan du ofte vere nøyd til og omforme likninga s.a. du får den på rett form. T.d. vil
[tex]x^2-2x+2+\frac{y^2}{25}-\frac{2y}{5} = 1 \Leftrightarrow \left( \frac{(x-1)}{1} \right)^2 + \left( \frac{(y-5)}{5}\right)^2 = 1[/tex]
som er ein ellipse med sentrum i (1,5) og akseradius 1 og 5.

Derfor treng du ikkje nødvendigvis få likninga gitt ved [tex](x-x_0)[/tex] og [tex](y-y_0)[/tex].

Ah, skjønner! Dette er første gang jeg er borti en ellipselikning. Trodde det bare var en sirkel, siden likninga virka slik.

Men ja, den lot seg løse ganske kjapt ved å dele alt på 144, som ga [tex]\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1[/tex]

Ser ut som metoden er ganske lik som ved sirkel. Fullfør kvadratet, og sett inn i "mal".

Takk for hjelpa!

Metoden er heilt lik, noko som er ganske trivielt sidan sirkelen (her) berre er eit spesialtilfelle av ein ellipse der radiusen er lik

Ok, jeg tenkte litt over saken...

Likning for sirkel: [tex]x^2+y^2=r^2[/tex] forutsatt senter i origo

Hvis man deler hele greia på [tex]r^2[/tex] får man

[tex]\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1[/tex]

Hvis man da bare løser opp [tex]r^2[/tex] i to forskjellige radier, kan man si at

[tex]\frac{x^2}{(r_x)^2}+\frac{y^2}{(r_y)^2}=1[/tex]

Og for å få det på komplett form, som tar høyde for senter i andre punkter enn origo:

[tex]\frac{(x-x_0)^2}{(r_x)^2}+\frac{(y-y_0)^2}{(r_y)^2}=1[/tex]

Og hvis man da finner ut at [tex]r_x \ = \ r_y[/tex] så har man en perfekt sirkel i stedet for ellipse.

Har jeg forstått det riktig?