matematikk.net

Kvifor er det s.a. funksjonen under har ein pol av tredje grad og ikkje fjerde grad som ved første augekast verkar rett; [tex]f(z) = \frac{\sin(\pi z)}{z^4}[/tex]. Det er jo openbart at den einaste plassen den har eit singulært punkt er for z=0. Dersom eg nyttar rekkjeutviklinga til sin(z) får eg

[tex]f(z) = z^{-4} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\cdot \frac{(\pi z)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{\pi}{z^3} - \frac{\pi ^3}{3!z} + \frac{\pi ^5 z}{5!} - \frac{\pi ^7 z^3}{7!} + \dots [/tex]

Her vil det vell vere rimleg og sjå at polen for z=0 er av tredje orden.

Kvifor er det s.a. ein (her) ikkje kan sjå ordenen til polen direkte ut av funksjonen utan og gå vegen om rekkjeutvikling? Må innrømme at eg truleg ikkje heilt har forstått ( ) definisjonen på ein pol, så dersom nokon kan gi ein god definisjon og gjerne ei forklaring på kva det er vert eg særs takksam

Du har forsåvidt vist dette med rekkeutviklingen.

Funksjonen har en fjernbar singularitet, og du ser jo når du rekkeutviklet at nevneren da blir opphøyd i 3 og ikke i 4. Det er egentlig samme prinsipp som funksjonen:

[tex]\frac{z}{z^{4}}[/tex].

Her har du [tex]z^{4}[/tex] i nevner, men du ser jo at dette selvsagt lar seg forkorte til:

[tex]\frac{1}{z^{3}}[/tex].

Og av dette ser vi at funksjonen har en pol av ograd 3. Din funksjon er litt mer komplisert, men det er akkurat samme prinsipp.

En pol er mao rett og slett bare en verdi som gir et ugyldig uttrykk - altså når en nevner er lik 0. Det tallet dette uttrykket opphøyes i gir polens grad. Et annet eksempel er f.eks.:

[tex]\frac{1}{(z-1)^{2}}[/tex].

Her har vi en pol omkring [tex]z = 1[/tex] med grad 2.

Ok, då verkar det som eg har forstått meir enn det eg trudde

Takk for raskt svar!