matematikk.net

I en oppgave bes man om å finne "domain" for [tex]g(x)=\frac{\sqrt[^3]x}{x^2+1}[/tex]

Fasiten sier at hele tallinja er god, men jeg får imaginære resultater for x<0, og kalkulatoren mener også at Y-error er et høvelig svar for negative X-er.

Fasitfeil?

Hele tallinja er god.

EDIT:

Eller vent litt... Geogebra og wolfram sier at hele tallinja er god, basert på plotting. Men ingen vil gi noen negative verdier uten imaginære tall.

Stemmer dermed for at

Definisjonsmengde [tex]x\in[0,\infty)[/tex]
Verdimengde [tex]y \in [0,\frac{1}{6}5^{5/6}][/tex]

Fasiten er riktig. Potensfunksjonen [tex]y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}[/tex] er definert for alle reelle tall i.o.m. at [tex]x=y^3[/tex]og [tex]y^3[/tex] gjennomløper tallinja når [tex]y[/tex] gjennomløper talllinja. For eksempel er [tex]\sqrt[3]{-8} = -2[/tex] fordi [tex](-2)^3=-8[/tex].

Følgelig er [tex]D_g={\bf R}[/tex]. Videre har [tex]x[/tex] og [tex]g(x)[/tex] samme fortegn, og [tex]g[/tex] symmetrisk om origo ettersom [tex]g(-x)=-g(x)[/tex]. Dermed blir [tex]V_g=[-\frac{5^{5/6}}{6} \, , \: \frac{5^{5/6}}{6}][/tex].

Vet du noen forklaring på hvorfor kalkulatoren gir Y=error for negative X-er? Ser at også WolframAlpha gir reelle verdier for x<0.

Tar du tredjerota av et negativt tall er det flere mulige svar, et rent reellt, men også imaginære tall. F.eks. er [tex]\sqrt[3]{-1}[/tex] lik -1, men også lik [tex]\frac12 (1+i\sqrt{3})[/tex]. Prøv f.eks. å opphøy det siste i 3.

Derfor gir kalkulatoren "error".