matematikk.net

Jeg har jobbet med Rudin - kapittel 1 i dag. Har prøvd å løse et par av de "enklere" bevisoppgavene, men i og med at det ikke er fasit hadde det vært fint om noen kunne bekrfete/avkrefte om jeg har gjort følgende to oppgaver riktig:

Oppgave 1

Let [tex]E[/tex] be a nonempty subset of an ordered set; suppose [tex]\alpha[/tex] is a lower bound of [tex]E[/tex] and [tex]\beta[/tex] is an upper bound of [tex]E[/tex]. Prove that [tex]\alpha \leq \beta[/tex].

Løsningsforslag:

La oss kalle det ordnede settet for [tex]S[/tex]. Ettersom [tex]S[/tex] er ordnet har det least upper bound property (vet ikke hva dette er på norsk).

Vi har videre fått oppgitt av [tex]E[/tex] har en lower bound, [tex]\alpha[/tex]. Vi må derfor ha at [tex]\alpha \leq x[/tex] for alle [tex]x \in E[/tex].

På bakgrunn av at [tex]E \subset S[/tex], og at [tex]S[/tex] har least upper bound property må det også eksistere en upper bound i [tex]E[/tex]. Vi kaller denne for [tex]\beta[/tex]. Da må vi ha at [tex]\beta \geq x[/tex] for alle [tex]x \in E[/tex].

Vi har dermed at:

[tex]\alpha \leq x \leq \beta[/tex]. Det følger dermed at [tex]\alpha \leq \beta[/tex].


Oppgave 2

Let [tex]A[/tex] be a nonempty set of real numbers which is bounded below. Let [tex]-A[/tex] be the set of all numbers [tex]-x[/tex], where [tex]x \in A[/tex]. Prove that:

[tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].

Løsningsforlsag:

Vi vet at [tex]A[/tex] har en lower bound. Det eksisterer dermed en verdi, [tex]\alpha[/tex], slik at [tex]\alpha \leq x[/tex] for alle [tex]x \in A[/tex]. Vi kan dermed definere: [tex]\alpha = inf(A)[/tex].

Vi vet også at det eksisterer et sett [tex]-A[/tex] representert med alle elementene [tex]-x[/tex]. Vi har at:

[tex]\alpha \leq x[/tex]

Multiplikasjon med [tex]-1[/tex] på begge sider gir:

[tex]-\alpha \geq -x[/tex].

Av dette ser vi at [tex]-\alpha[/tex] representerer least upper bound for alle elementer [tex]-x[/tex]. Vi har altså:

[tex]-\alpha = sup(-A)[/tex].

Multiplikasjon med [tex]-1[/tex] på begge sider gir da:

[tex]\alpha = -sup(-A)[/tex].

Og vi har dermed bevist at:

[tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].

Kommentar til oppgave 1
Ikke sikker på hvorfor du blander inn least upper bound property i oppgave 1. Sier oppgaven noe om at mengden har denne egenskapen? Det er heller ikke slik at alle partielt ordnede mengder har denne egenskapen. F.eks. [tex]\mathbb{Q}[/tex] med den vanlige ordningen. Delmengden [tex]\{x^2\leq 2\}\cap\mathbb{Q}[/tex] har en øvre grense, men ingen minste øvre grense i [tex]\mathbb{Q}[/tex].

Det eneste man behøver å bruke er transitiviteten til partielt ordnede mengder samt definisjonene av øvre og nedre grenser.

Plutarco:

Du har rett, dette var nok unødvendig fra min side. Vi har jo allerede fått opplyst at E har både lower bound og upper bound.

Jeg tok utgangspunkt i definisjon 1.10 til Rudin:

An ordered set [tex]S[/tex] is said to have the least-upper-bound property if the following is true:

If [tex]E \subset S[/tex], [tex]E[/tex] is not empty, and [tex]E[/tex] is bounded above, then [tex]sup(E)[/tex] exists in [tex]S[/tex].

Her oppfylles jo alle kritenere, men siden det jo allerede er opplyst i oppgaven at [tex]E[/tex] har en upper bound, så er det jo ikke nødvendig å trekke inn dette.

Hva om jeg i første oppgave hadde gjort det såpass enkelt som dette:

Vi har fått oppgitt at [tex]E[/tex] har en lower bound, [tex]\alpha[/tex]. Vi må derfor ha at [tex]\alpha \leq x[/tex] for alle [tex]x \in E[/tex].

Videre har vi fått oppgitt at [tex]E[/tex] har en upper bound, [tex]\beta[/tex]. Vi må derfor ha at [tex]\beta \geq x[/tex] for alle [tex]x \in E[/tex].

Ettersom vi da har at:

[tex]\alpha \leq x \leq \beta[/tex]

følger det at :

[tex]\alpha \leq \beta[/tex].

1.10 gir jo bare definisjonen på least upper bound property. Det betyr ikke at mengden S fra oppgaven har denne egenskapen. Det står ingenting i oppgaven om at sup(E) eksisterer... Det står bare at det eksisterer en øvre grense for E.

plutarco wrote:1.10 gir jo bare definisjonen på least upper bound property. Det betyr ikke at mengden S fra oppgaven har denne egenskapen. Det står ingenting i oppgaven om at sup(E) eksisterer... Det står bare at det eksisterer en øvre grense for E.

Men det står jo at E er et subsett av et ordered set. Oppfyller ikke settet da definisjonen?

Det ser greit ut.

Jeg ville vel formulert det slik:

Siden [tex]E[/tex] er ikketom fins det et element [tex]x\in E[/tex]. Siden [tex]\alpha[/tex] er en nedre grense for E er [tex]\alpha\leq x[/tex], og fordi [tex]\beta[/tex] er en øvre grense er [tex]x\leq \beta[/tex]. Transitiviteten til ordnede mengder gir derfor at [tex]\alpha\leq \beta[/tex].

Løs definisjon av least upper bound:
La X være en ordnet mengde. Dersom alle ikketomme delmengder av X som er oppad begrenset har en minste øvre grense, sies X å ha "least upper bound property". Det betyr jo ikke at alle ordnede mengder har denne egenskapen.

F.eks. har ikke mengden [tex]\mathbb{Q}[/tex] denne egenskapen..

plutarco wrote:Det ser greit ut.

Jeg ville vel formulert det slik:

Siden [tex]E[/tex] er ikketom fins det et element [tex]x\in E[/tex]. Siden [tex]\alpha[/tex] er en nedre grense for E er [tex]\alpha\leq x[/tex], og fordi [tex]\beta[/tex] er en øvre grense er [tex]x\leq \beta[/tex]. Transitiviteten til ordnede mengder gir derfor at [tex]\alpha\leq \beta[/tex].

Løs definisjon av least upper bound:
La X være en ordnet mengde. Dersom alle ikketomme delmengder av X som er oppad begrenset har en minste øvre grense, sies X å ha "least upper bound property". Det betyr jo ikke at alle ordnede mengder har denne egenskapen.

Takk skal du ha.

Jeg er imidlertid fremdeles litt forvirret mht Rudins definisjon. Når han skriver rett frem at et ordnet sett S har least-upper-bound property dersom:

[tex]E \subset S[/tex], [tex]E[/tex] er ikketomt, og [tex]E[/tex] er bounded above, så eksisterer [tex]sup(E)[/tex] i S.

Hva er det her som egentlig ikke er nevnt i den gitte oppgaven? Vi har jo at:

1. E er et subsett av et ordnet sett
2. E er ikke tomt
3. E er bounded above (git med [tex]\beta[/tex]).

Alt dette er oppgitt i oppgaven. Hvorfor eksisterer da ikke nødvendigvis sup(E) i det ordnete settet i oppgave? Jeg synes alle kriterier oppfylles her.

Slik jeg tolker det du skriver her, og som også står på Wikipedia, så burde vel kanskje heller definisjonen vært:

Dersom [tex]E \subset S[/tex], [tex]E[/tex] er ikktomt, [tex]E[/tex] er bounded above og [tex]sup(E)[/tex]eksisterer, så har settet [tex]S[/tex] least upper bound property.

Stemmer dette?

Forøvrig, er oppgave 2 gjort korrekt?

krje1980 wrote:Slik jeg tolker det du skriver her, og som også står på Wikipedia, så burde vel kanskje heller definisjonen vært:

Dersom [tex]E \subset S[/tex], [tex]E[/tex] er ikktomt, [tex]E[/tex] er bounded above og [tex]sup(E)[/tex]eksisterer, så har settet [tex]S[/tex] least upper bound property.

Stemmer dette?

Vel, ja, det er jo forsåvidt det samme som står i både Rudin og på Wikipedia: Hvis alle ikketomme delmengder som er oppad (nedad) begrenset har supremum (infimum), så har S LUBP.

krje1980 wrote:
Jeg er imidlertid fremdeles litt forvirret mht Rudins definisjon. Når han skriver rett frem at et ordnet sett S har least-upper-bound property dersom:

[tex]E \subset S[/tex], [tex]E[/tex] er ikketomt, og [tex]E[/tex] er bounded above, så eksisterer [tex]sup(E)[/tex] i S.

Hva er det her som egentlig ikke er nevnt i den gitte oppgaven? Vi har jo at:

1. E er et subsett av et ordnet sett
2. E er ikke tomt
3. E er bounded above (git med [tex]\beta[/tex]).

Alt dette er oppgitt i oppgaven. Hvorfor eksisterer da ikke nødvendigvis sup(E) i det ordnete settet i oppgave? Jeg synes alle kriterier oppfylles her.

Det som ikke er nevnt er jo at S (slik du har definert S som en ordnet mengde med E fra oppgave 1 som delmengde) har LUBP. For alt vi vet kan jo S være Q, og vi vet at Q ikke har LUBP...

(Sakset fra wikipedia:)

For example, the set Q of rational numbers does not have the least-upper-bound property under the usual order.

krje1980 wrote:
Oppgave 2

Let [tex]A[/tex] be a nonempty set of real numbers which is bounded below. Let [tex]-A[/tex] be the set of all numbers [tex]-x[/tex], where [tex]x \in A[/tex]. Prove that:

[tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].

Løsningsforlsag:

Vi vet at [tex]A[/tex] har en lower bound. Det eksisterer dermed en verdi, [tex]\alpha[/tex], slik at [tex]\alpha \leq x[/tex] for alle [tex]x \in A[/tex]. Vi kan dermed definere: [tex]\alpha = inf(A)[/tex].

Vi vet også at det eksisterer et sett [tex]-A[/tex] representert med alle elementene [tex]-x[/tex]. Vi har at:

[tex]\alpha \leq x[/tex]

Multiplikasjon med [tex]-1[/tex] på begge sider gir:

[tex]-\alpha \geq -x[/tex].

Av dette ser vi at [tex]-\alpha[/tex] representerer least upper bound for alle elementer [tex]-x[/tex]. Vi har altså:

[tex]-\alpha = sup(-A)[/tex].

Multiplikasjon med [tex]-1[/tex] på begge sider gir da:

[tex]\alpha = -sup(-A)[/tex].

Og vi har dermed bevist at:

[tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex].

Tror dette blir for lite rigorøst. Har noen forslag til hvordan man kan gå frem:

Start med å vise at inf(A) og sup(-A) eksisterer:
Her har du gitt at A er en delmengde av R, og vi vet at R har LUBP. Siden A er nedad begrenset eksisterer derfor inf(A), som vi kan kalle [tex]\alpha[/tex]. På en lignende måte kan du nå vise at -A er oppad begrenset, og derfor at sup(-A) eksisterer.

Videre må du vise at [tex]\inf(A)\leq -\sup(-A)[/tex], og deretter at [tex]-\sup(-A)\leq \inf(A)[/tex]. Da følger at [tex]\inf(A)= -\sup(-A)[/tex]. Dette er (den formelle) standardmåten å vise likheter på som benytter antisymmetrien til partielt ordnede mengder (punkt 2 under Formal definition http://en.wikipedia.org/wiki/Partially_ordered_set ). (analogt med å vise at to mengder er like ved å vise at begge er delmengder av hverandre)

Takk for alle tipsene! Jeg skal se nærmere på bevis 2.

Jeg forstår nå least upper bound property, og er fullt klar over at Q ikke har least upper bound property, og at R har det. Likevel synes jeg Rudin sin formulering er noe misvisende. Der Rudin skriver "then sup(E) exists in S" burde det, slik jeg ser det, stått "and sup(E) exists in S". Hadde han brukt denne formuleringen ville jeg unngått all forvirring omkring dette.

OPPGAVE 2, FORSØK 2:

Vi vet at [tex]A[/tex] er et ikketomt sett i [tex]\mathbb{R}[/tex] og at [tex]\mathbb {R}[/tex] har least-upper-bound property. Vi vet også at [tex]A[/tex] er bounded below. Det må derfor eksistere en verdi, [tex]\alpha[/tex], slik at [tex]\forall x \in A \rightarrow \alpha \leq x[/tex]. Vi definerer [tex]\alpha[/tex] som [tex]inf(A)[/tex].

Videre har vi at når [tex]\alpha \leq x[/tex] så må [tex]-\alpha \geq -x[/tex]. Ettersom [tex]-A[/tex] er ikketomt og bounded above, må det dermed eksistere en verdi, [tex]-\alpha[/tex], slik at [tex]\forall x \in -A \rightarrow -\alpha \geq -x[/tex]. Vi definerer [tex]-\alpha[/tex] som [tex]sup(-A)[/tex].

Først, ettersom [tex]inf(A) \leq x[/tex] får vi:

[tex]-x \leq -inf(A)[/tex]

Og ettersom [tex]-x \leq sup(-A)[/tex] får vi:

[tex]sup(-A) \leq -inf(A)[/tex]

[tex]inf(A) \leq -sup(-A)[/tex].

Videre, ettersom vi vet at [tex]-x \leq sup(-A)[/tex] har vi:

[tex]x \geq -sup(-A)[/tex]

Og ettersom [tex]x \geq inf(A)[/tex] får vi:

[tex]inf(A) \geq -sup(-A)[/tex]

[tex]-sup(-A) \leq inf(A)[/tex]

Ettersom [tex]inf(A) \leq -sup(-A)[/tex] og [tex]-sup(-A) \leq inf(A)[/tex] må:

[tex]inf(A) = -sup(-A)[/tex]

Q.E.D.

Beviset av den siste ulikheten er ikke riktig.

Bevis ved motsigelse kan brukes