Revers triangulær ulikhet for komplekse tall
Posted: 08/08-2011 21:53
Hei.
Lurer på om jeg kan bruke følgende fremgangsmåte for å bevise den reverse triangulær ulikheten for komplekse tall:
Vi skal altså bevise at:
[tex]|z - w| \geq \left| |z| - |w| \right|[/tex]
hvor [tex]z[/tex] og [tex]w[/tex] er komplekse tall.
Ok. Vi har:
[tex]|z-w|^{2} = (z-w)(\bar{z} - \bar{w}) = z\bar{z} - z\bar{w} - \bar{z}w + w\bar{w} = |z|^{2} -(z\bar{w} + \bar{z}w) + |w|^{2} = |z|^{2} -2Re(z\bar{w}) + |w|^{2} \geq |z|^{2} -2|z\bar{w}| + |w|^{2} = |z|^{2} - 2|z||w| + |w|^{2} = \left| |z| - |w| \right |^{2}[/tex]
Ved å ta kvadratroten av begge sider får vi da:
[tex]|z - w| \geq \left| |z| - |w| \right|[/tex]
Er dette en gyldig måte å bevise dette på? Setter stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte dette.
Lurer på om jeg kan bruke følgende fremgangsmåte for å bevise den reverse triangulær ulikheten for komplekse tall:
Vi skal altså bevise at:
[tex]|z - w| \geq \left| |z| - |w| \right|[/tex]
hvor [tex]z[/tex] og [tex]w[/tex] er komplekse tall.
Ok. Vi har:
[tex]|z-w|^{2} = (z-w)(\bar{z} - \bar{w}) = z\bar{z} - z\bar{w} - \bar{z}w + w\bar{w} = |z|^{2} -(z\bar{w} + \bar{z}w) + |w|^{2} = |z|^{2} -2Re(z\bar{w}) + |w|^{2} \geq |z|^{2} -2|z\bar{w}| + |w|^{2} = |z|^{2} - 2|z||w| + |w|^{2} = \left| |z| - |w| \right |^{2}[/tex]
Ved å ta kvadratroten av begge sider får vi da:
[tex]|z - w| \geq \left| |z| - |w| \right|[/tex]
Er dette en gyldig måte å bevise dette på? Setter stor pris på om noen kan bekrefte/avkrefte dette.
