matematikk.net

Har kommet meg gjennom de fleste oppgaver i Rudin kapittel 1, men står litt fast på en av oppgavene. Etter dette skal jeg ta en pause i analysen, så da vil jeg ikke plage dere med så mange spørsmål de neste dagene .

OK. Oppgaven lyder:

Suppose [tex]k \geq 3[/tex]

[tex]\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{k}[/tex]

[tex]|\mathbf{x} - \mathbf{y}| = d[/tex], and [tex]r > 0[/tex]. Prove:

(a) If [tex]2r > d[/tex], there are infinitely many [tex]\mathbf{z} \in \mathbb{R}^{k}[/tex] such that:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| = |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = r[/tex].

(b) If [tex]2r = d[/tex], there is exactly one such [tex]\mathbf{z}[/tex].

(c) If [tex]2r < d[/tex], there is no such [tex]\mathbf{z}[/tex].


OK. Har tenkt som følger på (a):

Vi har at [tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| = |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = r[/tex]. Altså må:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = 2r[/tex]

Vi har videre at:

[tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| \geq |\mathbf{x} - \mathbf{y}| = d[/tex].

Her blir jeg imidlertid litt usikker på hvordan jeg kan gå videre. Kan jeg her sette at siden [tex]|\mathbf{z} - \mathbf{x}| + |\mathbf{z} - \mathbf{y}| = 2r[/tex] så har vi at [tex]2r \geq d[/tex]? Og dermed er den gitte ulikheten oppfylt? (vi har jo gitt [tex]2r > d[/tex]).

Jeg er imidlertid ikke sikker på om dette er gjort riktig. Setter veldig stor pris på tips/korreksjoner!

Ingen som vet?

Ble litt usikker på hva Rudin vil frem til med denne oppgaven. Forsto ikke helt din fremgangsmåte heller.

Dersom [tex]2r>d[/tex] vil jo mengdene [tex]\{z\in\mathbb{R}^k: |z-x|=r\}[/tex] og [tex]\{z\in\mathbb{R}^k: |z-y|=r\}[/tex] snitte i en (k-2)-dimensjonal flate som inneholder uendelig mange punkter dersom [tex]k\geq 3[/tex].

Takk for svar!

Ja, jeg må innrømme at jeg var veldig usikker på hvordan jeg skulle gå frem.

Jeg begynte med å prøve å visualisere problemet i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex]. Da har vi at avstanden fra z til x, og avstanden fra z til y skal være lik (gitt ved konstanten [tex]r[/tex]). Bruker så triangulærulikheten for [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex] som jo sier at avstanden fra z til x, pluss avstanden fra z til y, må være større eller lik avstanden fra x til y. I dette tilfellet får vi oppgitt at denne avstanden er gitt ved konstanten [tex]d[/tex].

Det er ut i fra dette jeg har prøvd å løse oppgaven, men, som sagt, så er jeg veldig usikker på fremgangsmåte i denne oppgaven.

Forøvrig skal variablene i oppgaven være vektorer. Jeg ser at dette ikke kom tydelig frem, selvom jeg prøvde å utheve dem. Skal bruke piler neste gang.

Hint: Du kan anta at x = 0 (hvorfor?). Det finnes en rotasjonsmatrise R slik at Ry = (0,0,d). Husk at |Ry| = |y| for en rotasjonsmatrise.

For 2r < d, kan du prøve å bruke trekantformelen for å vise at det ikke kan finnes noen slike z. For 2r = d, bruk trekantformelen igjen, og konkluder med at z-x og z-y må være parallelle (hvorfor? Hint: Cauchy's ulikhet, simplifiser uttrykket |a+b| = |a| + |b|), og finn dermed et eksplisitt uttrykk for den eneste z som kan oppfylle kriteriene.

Takk for tipsene, Charlatan.

Jeg har prøvd å komme litt videre basert på det du skriver, men jeg står temmelig fast . Tror det er fordi jeg har tenkt såpass mye på oppgaven at jeg har sett meg "blind" på den.

Vis hvordan du har tenkt, så kan jeg kanskje hjelpe deg videre.

OK.

La oss anta at [tex]\vec{x}= 0[/tex]. Uttrykket vi skal jobbe med er, slik jeg ser det, et geometrisk problem, så vi kan derfor fint forskyve den geometriske figuren slik at vektoren [tex]\vec{x}[/tex] blir lik [tex]0[/tex]. Det er jo samme prinsipp vi bruker f.eks. til å regne ut areal av parallellogram gjennom forskyvning av vektorer. Her tar jeg utgangspunkt i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex].

Vi antar så at:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| = |\vec{z} - \vec{y}| = r[/tex]. I og med at [tex]\vec{x} = 0[/tex] får vi da at:

[tex]|\vec{z}| = r[/tex]

Eller:

[tex]2|\vec{z}| = 2r[/tex]

Videre følger det av triangulærulikheten for figurer i [tex]\mathbb{R}^{3}[/tex]:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}| \geq |\vec{x} - \vec{y}|[/tex]. Ettersom vi antar at: [tex]|\vec{z} - \vec{x}| = |\vec{z} - \vec{y}| = r[/tex] får vi da at:

[tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}| = 2|\vec{z} - \vec{x}| = 2|\vec{z}|[/tex] (ettersom vi antar at [tex]\vec{x} = 0[/tex]).

Vi har så gitt i oppgaven at: [tex]|\vec{x} - \vec{y}| = d[/tex]. Dette gir:

[tex]2|\vec{z}| = 2r \geq d[/tex].

Ettersom vi i a) har fått oppgitt at [tex]2r > d[/tex] oppfylles ulikheten for et uendelig antall [tex]\vec{z}[/tex]. Videre, når i b) vi får oppgitt at [tex]2r = d[/tex] vil dette oppfylles når [tex]2|\vec{z}| = |\vec{x} - \vec{y}|[/tex]. Altså må [tex]\vec{z} = \frac{|\vec{x} - \vec{y}|}{2}[/tex], og fra triangulærulikheten vet vi at vektorene da må ligge på linje. Og det følger i c) at når [tex]2r < d[/tex] kan ikke ulikheten oppfylles.

Dette er, i mitt hode, den logiske måten å løse oppgaven på, men egentlig har jeg vel gjort det samme her som jeg gjorde i første innlegg, bare at jeg setter [tex]\vec{x} = 0[/tex] basert på tipset ditt. Jeg klarer liksom ikke å omstille meg fra å tenke slik jeg gjorde i begynnelsen.

Dersom du kan hjelpe meg litt videre så er jeg veldig takknemlig!

Det du har vist her er at dersom |z-x| = |z-y| = r, så må 2r >= d. Men oppgaven er jo å vise at det finnes uendelig mange z slik at |z-x| = |z-y| = r, så du kan ikke ta utgangspunkt i (anta) likningene |z-x| = |z-y| = r (for hva er z?).

Prøv å løse oppgaven dersom x = 0, og y = (0,0,1) (og da at d = 1), så ser du kanskje et mønster. Skriv z = (z_1,z_2,z_3) og finn en likning for disse variablene (som har et uendelig antall løsninger).

Jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal sette dette opp. Skal jeg ta utgangspunk i [tex]|\vec{z} - \vec{x}| + |\vec{z} - \vec{y}|[/tex] og sette inn de verdiene du foreslår for [tex]\vec{x}[/tex] og [tex]\vec{y}[/tex]?

Kan du finne uendelig mange z som oppfyller likningene |z-x| = |z-y| = r, dersom x = 0 og y = (0,0,1) ?

Det er dette oppgaven spør om, bare for generelle x og y.

Men da får vil vel:

[tex]\left|\begin{bmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix}\right| = \left|\begin{bmatrix}z_1\\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\0 \\ 0 \\1\end{bmatrix}\right| = r[/tex].

Og hvordan kan:


[tex]\left|\begin{bmatrix}z_1 \\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix}\right| = \left|\begin{bmatrix}z_1\\ z_2 \\ z_3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\0 \\ 0 \\1\end{bmatrix}\right|[/tex]?

F.eks z1=z2=0, z3 = 1/2. Sett opp likningene!

Ok. Prøver meg litt videre. Tar normen til vektorene og får:

[tex]\sqrt{z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2}} = \sqrt{z_1^{2} + z_2^{2} + (z_3 - 1)^{2}} = r[/tex]

Kvadrerer og får:

[tex]z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2} = z_1^{2} + z_2^{2} + z_3^{2} - 2z_3 + 1 = r^{2}[/tex]

Dette kan forkortes til:

[tex]-2z_3 + 1 = r^{2}[/tex]

Løser og får:

[tex]z_3 = \frac{1 - r^{2}}{2}[/tex]

Er jeg på riktig spor nå?