matematikk.net

La x og y være rasjonale tall. Vis da at disse tallene er rasjonele: 1)x+y

Jeg er usikker på hvordan dette settes opp. Burde man motbevise det?

Jeg har startet ved å skrive x=a/b og y=p/s
fordi brøkene er rasjonale tall. Hvodan går jeg frem videre?

Takk!

Du har tenkt riktig. Slik ville jeg gått frem:

Anta at [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] er rasjonale tall. Tallene kan da skrives på formen [tex]x = \frac{a}{b}[/tex] og [tex]y=\frac{c}{d}[/tex]. Vi antar at hverken [tex]b[/tex] eller [tex]d[/tex] er [tex]0[/tex].

Summerer vi tallene får vi da:

[tex]x + y = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}[/tex]. Ettersom vi nå har et nytt rasjonalt tall, og ettersom vi vet at [tex]bd[/tex] er gyldig ettersom hverken [tex]b[/tex] eller [tex]d[/tex] er [tex]0[/tex], har vi vist at summen av to rasjonale tall også er et rasjonalt tall.

Takk! Nå skjønte jeg det. Hva med denne: La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis for at x/y er et irrasjonalt tall.

Her har jeg begynt:

x/y=(Kvadratroten av 2)/a/b=

Du er inne på riktig tankegang, men når du legger inn kvadratroten av 2 så begrenser du beviset til akkurat det irrasjonale tallet. Dette kan utføres på flere måter, men hva med å anta at x/y faktisk er et rasjonalt tall. Kall det f.eks. a, altså har vi at a = x/y. Det du må få gjort nå er å vise at antagelsen om at a er et rasjonalt tall fører til noe som vi vet er galt. Et hint: se på tallet y. Kan du uttrykke y ved hjelp av a og x? Hva kan du si da?

x/y=a


y=x/a

hmmm.. hva skal x og y være da?

Hva kan du si om brøken x/a? Du vet at x er et rasjonalt tall, og a antar du er et rasjonalt tall.

At hele brøken er rasjonell? Det er nok ikke det du ville at jeg skulle komme frem til


EDIT:

eller at den er irrasjonell fordi den tilsvarer "y"?

Jo, flott! Men hva kan du da si om tallet y?

(Jeg kan godt forstå forvirringen og usikkerheten. Dette med indirekte bevis kan kreve litt tilvenning, og ofte kan det virke som det er mye "gå rundt grøten" for nesten ingenting…)

EDIT: Du antar at x og a er rasjonelle, så da er brøken x/a rasjonell. Spørsmålet blir da som over -- siden y skal være lik denne brøken, hva fører dette til?

At y også er rasjonell? Og at vi kan skrive det som en brøk?

Ja, akkurat. Men fra før er det gitt at y er irrasjonell! Vi har altså fått en selvmotsigelse -- det irrasjonelle tallet y skal være lik det rasjonelle tallet x/a. Det går jo ikke an. Dette betyr at antagelsen vi gjorde om at x/y er rasjonell må være gal. Altså er x/y irrasjonal.

Denne typen bevis er litt kronglete og vanskeligere å forstå enn direkte bevis, men det går seg nok til når du får tenkt litt over det, sett andre eksempler, osv. Det kan jo også være at andre har noen bedre bevis enn dette (det meste kan bevises på flere måter.)

Takk skal du ha