matematikk.net

Prøver å lære meg grunnleggende topologi fra Rudin, og sliter litt med å forstå dette med kompakte sett.

En definisjon på kompakte sett er:

A set [tex]K[/tex] is compact in the metric space [tex]X[/tex] if every open cover of [tex]K[/tex] contains a finite subcover.

Jeg har sett eksempler på dette som jeg skjønner helt greit, men når jeg begynner å spekulere på ulike scenarioer for meg selv blir jeg litt mer usikker. Vi har nemlig et annet teorem som sier at:

Finite sets are compact.

La oss f.eks. si at vi har et finite sett S i [tex]\mathbb{R}[/tex]: {1, 2, 3}. La oss videre si at dette settet er dekket av et open cover: (0, 4). Dersom dette er det eneste open cover settet, kan vi da fremdeles si at vi har et "finite subcover"? I alle de eksemplene jeg har sett, så har det nemlig vært såpass mange sett som har utgjørt open cover at det er lett å plukke vekk noen for så å sitte igjen med et endelig subcover.

Men hva om man da altså kun har dette ene settet? Kan vi da si at dette settet i sin helhet også utgjør et finite subcover?

Håper ikke jeg spør for dumt her . Det er ikke så lett å holde styr på alle disse nye begrepene.

Å vise kompakthet er vel ofte verre enn å vise at en mengde ikke er kompakt.

F.eks. er det vel ganske lett å vise at åpne intervaller i R ikke er kompakte ved å konstruere uendelige åpne overdekninger som åpenbart ikke har endelige deloverdekninger.

Jeg har aldri sett noen eksempler på mengder der det kun fins én åpen overdekning bestående av kun én mengde, i så fall er det ikke noe problem, for da vil jo mengden uansett være kompakt siden den eneste overdekningen altså er endelig.

Mulig jeg ikke forsto problemstillingen din..

Takk for svar.

Jeg tror faktisk du forstod det bra . Som du sier, så er vel mengden kompakt ettersom den eneste overdekningen er endelig. Det var rett og slett veldig mange nye begrep jeg prøvde å lære meg i går, og jeg tror nok jeg trenger litt tid på å fordøye alt.