matematikk.net

Hei. Dagens problem:) :

Gitt to komplekse tall[tex] z_1, z_2, z_1[/tex] [symbol:ikke_lik][tex] z_2[/tex].
La L være den rette linen som går gjennom [tex] z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex].
Vis at et komplekst tall z ligger på L dersom [tex]\frac{z-z_1}{z-z_2} [/tex] eller[tex] z=z2[/tex].


Sliter litt med å formalisere dette. Det virker jo ganske intuitivt ved første øyekast, men jeg har slitt lenge med den her nå.

Tenker man på z-z_1 og z-z_2 som vektorene fra z_1 og z_2 til punktet z, må jo disse to vektorene gi et reelt svar når de divideres dersom vinklene mellom dem er like. (siden vi ender opp med isin(vinkel_1 - vinkel_2) = 0 om de er er like..)

Noen som kan hjelpe meg litt på vei med utregningen?

Finn et uttrykk for linja ved en reell parameter t. Da har en en beskrivelse av de komplekse tallene som ligger på linja. Vis nå at dersom z ligger på linja (dvs kan bli beskrevet som en funksjon av t), har den egenskapen at (z-z_1)/(z-z_2) er reell, eller at z = z_2.

Holder dette som løsning?

Lar [tex]z_1, z_2, z_1 \neq z_2[/tex] og lar [tex]L =t(z1-z2)[/tex] være linja mellom punktene.

Lar z være et komplekst tall. Da er [tex]u=(z-z_1), v=(z-z2)[/tex]

Da vil [tex]\frac{z-z_1}{z-z_2}=\frac{u}{v} = \frac{r_u}{r_v}(cos(\theta_u-\theta_v) + i*sin(\theta_u-\theta_v))[/tex]¨

Men da ser vi at for at [tex]Im(\frac{u}{v})=0[/tex], må [tex]sin(\theta_u-\theta_v) = 0[/tex], noe som er oppflyt når [tex]\theta_u = \theta_v[/tex] eller [tex]\theta_u=(\theta_v+\pi)[/tex], som er tilfellet når z ligger på L (siden u og v da er parallelle, eller motsatte, og vinkelen mellom dem enten er 0 eller [symbol:pi] )

Føler dette er litt klossete, men kanskje det holder?

Eller kanskje dette er bedre / gyldig:

Lar [tex]z_1, z_2, z_1 \neq z_2[/tex] og lar [tex]L =t(z1-z2)[/tex] være linja mellom punktene.

Vi skal vise at om [tex] Im(\frac{z-z_1}{z-z_2})=0[/tex] for et tall z, så må z ligge på linja L.

Da har at om z ligger på linja L, må [tex]z-z_2= k(z-z1)[/tex] siden de tre punktene ligger på linje, og følgelig gir [tex]\frac{z-z_1}{k(z-z_1)} [/tex] et reelt svar.