matematikk.net

Jobber med grunnleggende point-set topologi, og føler jeg bare har begrenset kontroll hittil. Setter derfor stor pris på om noen kan se på noen forslag til løsninger jeg har for to oppgaver. Jeg poster dem i separate tråder.

OK. Oppgave 1 lyder:

Let [tex]E^\prime[/tex] be the set of all limit points of a set [tex]E[/tex]. Prove that [tex]E^\prime[/tex] is closed. Prove that [tex]E[/tex] and [tex]\overline{E}[/tex] have the same limit points (Recall that [tex]\overline{E} = E\cup E^\prime[/tex].) Do [tex]E[/tex] and [tex]E^\prime[/tex] always have the same limit points?


For oppgavens første del har jeg resonnert som følger (jeg liker å løse oppgaver på engelsk):

Fix a point [tex]x[/tex] such that [tex]x \in (E^\prime)^{c}[/tex]. Then [tex]x[/tex] is not a limit point of [tex]E[/tex]. This means that [tex]x[/tex] must have a neighborhood such that [tex]y[/tex] is not in [tex]E[/tex] with [tex]x \neq y[/tex] for every [tex]y[/tex] in that neighborhood. This means that [tex]x[/tex] is an interior point for [tex] (E^\prime)^{c}[/tex], and this implies that [tex] (E^\prime)^{c}[/tex] is open, which again implies that [tex](E^\prime)[/tex] is closed.


For oppgavens andre del har jeg tenkt som følger (men her er jeg mer usikker):

Suppose that [tex]x[/tex] is a limit point of [tex]E[/tex]. Then [tex]x \in E^\prime[/tex]. Since [tex]x[/tex] is a limit point of [tex]E[/tex] this means that in every neighborhood of [tex]E[/tex] there is a point [tex]y[/tex], where [tex]y \neq x[/tex] with [tex]y[/tex] in [tex]E[/tex]. Further, we know that [tex]\overline{E} = E\cup E^\prime[/tex] and, from theorem 2.27 (Rudin's book), we know that [tex]\overline{E}[/tex] is closed. Since we proved above that [tex]E^\prime[/tex] is closed, this implies that [tex]E[/tex] must also be closed. By being closed, [tex]E[/tex] must contain all of its limit points, and we know that for [tex]E[/tex] all limit points are contained in [tex]E^\prime[/tex]. Thus, since [tex]\overline{E} = E\cup E^\prime[/tex], [tex]\overline{E}[/tex] must have the same limit points as [tex]E[/tex]

Siste del av oppgaven er jeg faktisk ikke sikker på.

Setter imidlertid veldig stor pris på om noen kan se over det "kladdearbeidet" jeg har gjort hittil. Jeg synes dette er VANSKELIG, og for første gang siden jeg begynte å studere matematikk for over to år siden føler jeg at jeg tar et fag der jeg virkelig sliter!

Jeg merker at jeg kommer noe til kort her, men jeg forsøker meg.

krje1980 wrote:Further, we know that [tex]\overline{E} = E\cup E^\prime[/tex] and, from theorem 2.27 (Rudin's book), we know that [tex]\overline{E}[/tex] is closed. Since we proved above that [tex]E^\prime[/tex] is closed, this implies that [tex]E[/tex] must also be closed.

Her henger jeg ikke med. Så vidt jeg kan se har vi ikke antatt noe om [tex]E[/tex], så med mindre alle mengder er lukkede, kan vel ikke dette stemme.

Jeg er klar over at unionen av to lukkede mengder er lukket, men så vidt jeg vet er dette en énveis implikasjon.

Det jeg tenkte var at ettersom [tex]\overline{E}[/tex] er lukket (etter Rudins definisjon) og vi vet at [tex]E^\prime[/tex] er lukket, så måtte [tex]E[/tex] også være lukket for at uttrykket [tex]\overline{E} = E\cup E^\prime[/tex] skal bli riktig.

Men tror du har rett, og jeg har gått litt fort frem her. Som du sier så har vi jo ikke antatt noe om [tex]E[/tex], og jeg tenkte bare, som du påpeker, på det faktum en union av lukkede sett også må være lukket. Men i dette tilfellet må vi vel vite med sikkerhet at [tex]E[/tex] er lukket for å kunne bruke dette teoremet.

Setter pris på eventuelle tips!

Dersom [tex]E[/tex] og [tex]E^\prime[/tex] hadde vært disjunkte mender hadde det vel stemt.


Vi kan vel prøve en selvmotsigelsesbevis.

Her er et forsøk. Hvis du vil finne frem selv, så si ifra så sletter jeg det.

Anta at [tex]\bar{E}[/tex] har et grensepunkt [tex]x[/tex] som ikke er delt med [tex]E[/tex]. Altså har vi [tex]x\not\in E^\prime[/tex], og siden [tex]\bar{E}[/tex] er lukket, behøver vi derfor [tex]x\in E[/tex]. Men hvis vi i hvert nabolag av [tex]x[/tex] kan kunne finne punkter enten i [tex]E[/tex] eller [tex]E^\prime[/tex], så må [tex]x[/tex] enten være et grensepunkt til [tex]E[/tex] eller et grensepunkt til [tex]E^\prime[/tex]. Men [tex]E^\prime[/tex] er lukket, så uansett fører dette til [tex]x\in E^\prime[/tex]. Denne selvmotsigelsen fullfører beviset. [tex]E^\prime = \bar{E}^\prime[/tex].

Det stemmer ikke at dersom A og B er disjunkte, og A U B og B er lukket, så er A lukket. F.eks dersom man betrakter topologien på de naturlige tallene der de lukkede mengdene er de uendelige mengdene og den tomme mengden, så er det enkelt å finne en endelig A og en uendelig B slik at de er disjunkte, men A U B er uendelig og dermed lukket.

Ja, du har rett. Min feil.

Tusen takk for hjelpen!