matematikk.net

Hei!
Gitt to konvergente følger a_n og c_n,
[tex]\lim_{n\to\infty}a_n, c_n=L[/tex], og [tex]a_n\le b_n\le c_n[/tex] Vis at b_n også konvergerer mot L.

Siden [tex]a_n\le b_n\le c_n[/tex], må [tex]a_n-L\le b_n-L\le c_n-L[/tex], og [tex]|b_n-L|\le max(|a_n-L|, |b_n-L|)[/tex]. (Dette må jo stemme siden c_n ligger mellom a_n og b_n og derfor ikke kan ligge lengst unna L.

Men siden a_n og c_n er konvergente, må det derfor finnes en [tex]N=max(N_a, N_b)[/tex] Så [tex]|b_n-L|<\epsilon[/tex] når [tex]n>N[/tex]

Er dette ufullstendig?

Forslag:

Siden [tex]\{a_n\}[/tex] og [tex]\{c_n\}[/tex] konvergerer mot [tex]L [/tex] fins det for enhver [tex]\epsilon>0[/tex] en [tex]N[/tex] og en [tex]M[/tex] slik at [tex]|a_n-L|<\frac13\epsilon[/tex] for alle [tex]n>N[/tex] og [tex]|c_n-L|<\frac13\epsilon[/tex] for alle [tex]n>M[/tex]. La [tex]K=max(N,M)[/tex]. Da er

[tex]|b_n-L|=|(b_n-a_n)-(L-a_n)|\leq \frac13\epsilon +|b_n-a_n|\leq \frac13\epsilon +|c_n-a_n|=\frac13\epsilon+|(c_n-L)-(a_n-L)|< \epsilon[/tex] for alle [tex]n>K[/tex], og det følger at [tex]\{b_n\}[/tex] konvergerer mot [tex]L[/tex].