matematikk.net

hvordan kan man vise at arealet til kule er [tex]\: 4 \pi r^2[/tex]

forh.takk

Det går vel på å dele opp kula i mange pyramider, med pyramide"toppen" i sentrum av kula.

Jo flere slike pyramider du får inn i kula, jo flatere blir "gulvet" i pyramiden.

Volumet av hver pyramide gis ved [tex]\frac{1}{3}A_pr[/tex] der [tex]A_p[/tex] er arealet av grunnflata i pyramiden, og r er radiusen til sirkelen.

Så volumet av sfæren blir summen av volumet av alle pyramidene.

Når antall pyramider nærmer seg uendelig, blir svaret mer og mer nøyaktig. Arealet av kula blir summen av arealet av alle grunnflatene.

Vi vet at volumet til kula er gitt ved [tex]\frac{4\pi r^3}{3}[/tex] så vi kommer frem til at dette også tilsvarer [tex]\frac{1}{3}r\cdot AP[/tex] der AP er summen av arealet til alle grunnflatene i pyramidene.

Hvis vi nå løser denne likninga mhp AP får vi [tex]AP=4\pi r^2[/tex]



Beklager hvis dette ble i overkant lettvint eller rotete. Det faller meg ikke så naturlig inn å formulere slikt med ord :Lol:

2 andre metoder;

a)
tenk deg ei kule med radius r som får plass i en sylinder med h = 2r. da er

[tex]S=(2\pi r)*h=2\pi r * 2r = 4\pi r^2[/tex]
=============
b)
vha kulekoordinater [tex]\,\,(r,\theta, \phi)[/tex]

[tex]dS=r^2\, \sin(\theta)\,d\theta\, d\phi[/tex]

[tex]S=\int_0^{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\, r^2 \, \sin(\theta)\,d\theta\, d\phi=2\pi r^2 \left|-\cos(\theta)\right|_{-\pi}^{\pi}\,\,=\, 4\pi r^2[/tex]

4. metoden er sjølsagt denne;

gitt halvsirkel'n:[tex]\,\,y=f(x)=\sqrt{r^2\,-\,x^2}[/tex]

da er overflatearealet til kula gitt ved;

[tex]S=2\pi\int_{-r}^r f(x)\,\sqrt{1+(f^,(x))^2}\,dx[/tex]

som du kan regne ut sjøl...

Get lost da Janhaa. Nå ser min metode ut som barneskolepensum!

Aleks855 wrote:Get lost da Janhaa. Nå ser min metode ut som barneskolepensum!

Metoden din er fin den! (noe ala metode 2 over).
Tipper Arkhimedes og gamle grekerne sysla med slikt før integralregninga...