matematikk.net

Hei.

Er litt usikker på hvordan jeg skal gå i gang med følgende oppgave:

- Prove that every connected metric space with at least two points is uncountable.


Rent intuitivt så tenker jeg at dersom vi har to punkter innen for et samlet (connected) sett, så må det eksistere en distanse mellom dem ettersom dette er et trekk ved metriske rom. Videre vil da hvert punkt ha sitt nabolag med uendelig antall punkter. Ergo kan ikke settet være tellbart (i hvert fall ikke i [tex]\mathbb{R}[/tex]). Men er litt usikker på om dette er riktig måte å resonnere på før jeg setter opp et forslag til bevis.

Det som imiderltid forvirrer meg er at i oppgaven så er et et hint til oppgaven vi gjorde før dette, hvor vi beviste at når vi har to sett, [tex]A[/tex] og [tex]B[/tex] så er disse separate dersom vi for alle [tex]q \in X[/tex] i [tex]A[/tex] har at [tex]d(p,q) < \delta[/tex] og i [tex]B[/tex] har at [tex]d(p,q) > \delta[/tex]. Jeg skjønner ikke hvordan jeg kan inkorporere dette til å svare på den gitte oppgaven.

Setter derfor stor pris på om innspill!

krje1980 wrote:
- Prove that every connected metric space with at least two points is uncountable.


Rent intuitivt så tenker jeg at dersom vi har to punkter innen for et samlet (connected) sett, så må det eksistere en distanse mellom dem ettersom dette er et trekk ved metriske rom. Videre vil da hvert punkt ha sitt nabolag med uendelig antall punkter. Ergo kan ikke settet være tellbart (i hvert fall ikke i [tex]\mathbb{R}[/tex]).

Du kan ikke uten videre slutte at det fins uendelig mange punkter i en åpen omegn om punktet. Og selv om det er uendelig mange, betyr ikke det at mengden er ikke-tellbar.

Du må bruke at rommet er sammenhengende. Definisjonen er at det ikke går an å skrive det som en disjunkt union av ikketomme åpne mengder.

Takk for svar.

Ja, jeg kjenner til definisjonen av sammenhengende sett, men jeg kommer ikke noen vei. Jeg aner rett og slett ikke hva jeg skal gjøre for å bevise at et sammenhengende sett med to punkter ikke er tellbart. Blir også forvirret med begrepet "to punkter" ettersom jeg da begynner å tenke: "Ja, men det må da ligge punkter mellom disse to punktene, ellers kan ikke dette være et sammenhengende område".

Her står jeg rett og slett helt fast!

Tanken er jo ikke gal, men problemet ligger i å skrive det ned matematisk.

Hint:

La [tex]X[/tex] være det metriske, sammenhengende rommet, og la p og q være to forskjellige punkter i [tex]X[/tex]. [tex]d(x,y)[/tex] er metrikken. La [tex]d(p,q)=e>0[/tex], og [tex]f\in (0,e)[/tex]

La [tex]A=\{x\in X : d(x,p)<f\}[/tex]. Lukningen av [tex]A[/tex] er [tex]\overline{A}[/tex]. For enhver [tex]f[/tex] i intervallet [tex](0,e)[/tex] må det derfor eksistere et punkt [tex]y\in X[/tex] som ligger i [tex]\overline{A}-A [/tex]. (hvorfor?) Bruk dette til å konkludere med at det fins en ikketellbar delmengde i X, og videre at X selv ikke kan være tellbar.

plutarco wrote:Tanken er jo ikke gal, men problemet ligger i å skrive det ned matematisk.

Hint:

La [tex]X[/tex] være det metriske, sammenhengende rommet, og la p og q være to forskjellige punkter i [tex]X[/tex]. [tex]d(x,y)[/tex] er metrikken. La [tex]d(p,q)=e>0[/tex], og [tex]f\in (0,e)[/tex]

OK. Dette er jeg med på.

La [tex]A=\{x\in X : d(x,p)<f\}[/tex]. Lukningen av [tex]A[/tex] er [tex]\overline{A}[/tex]. For enhver [tex]f[/tex] i intervallet [tex](0,e)[/tex] må det derfor eksistere et punkt [tex]y\in X[/tex] som ligger i [tex]\overline{A}-A [/tex]. (hvorfor?)[/tex]

Her begynner jeg å falle av. Jeg forstår at A er hele området med radius som går innenfor intervallet [tex](0, e)[/tex]. Og jeg er også med på at [tex]\overline{A}[/tex] er lukningen av [tex]A[/tex] slik at alle grensepunkt blir innlemmet i [tex]A[/tex]. Men jeg er usikker på hva du mener med [tex]\overline{A} - A[/tex]. Mener du her [tex](\overline{A})^{c}[/tex]? Og at det må eksistere et punkt [tex]y[/tex] i dette området? Det er jo logisk ettersom [tex]A[/tex] jo bare er et subsett av [tex]X[/tex], og at det dermed kan eksistere punkt utenfor [tex]A[/tex], men jeg henger ikke helt med her dessverre.

Bruk dette til å konkludere med at det fins en ikketellbar delmengde i X, og videre at X selv ikke kan være tellbar.

Jeg antar jo her at vi skal ende opp med en delmengde som ikke er tellbar, f.eks. et intervall i [tex]\mathbb{R}[/tex], men ettersom jeg ikke fullt ut forstår tankeprosessen over så ser jeg ikke hvordan vi kommer frem til dette.

Beklager hvis jeg ikke tar dette med en gang! Jeg har aldri hatt denne typen matematikk før, og det er en veldig brutal og nesten demotiverende overgang. Er vant til å forstå og få til det meste, men her sliter jeg virkelig! Tror det er fordi jeg har problemer med å visualisere mye av dette stoffet, og jeg er fortsatt uvant med mye av notasjonen som brukes. Jeg har alltid vært best i mer anvendt rettet matematikk hvor jeg lett kan visualisere og forstå problemstillingene. Dette føles imidlertid til tider alt for abstrakt for meg og jeg river meg i håret av frustasjon for tiden.

Med [tex]\overline{A}-A[/tex] (aka. [tex]\overline{A}\setminus A[/tex]) mener jeg mengden [tex]\{x\in X : d(x,p)=f\}[/tex].

Dersom denne mengden er tom vil vi jo kunne skrive X som en union av de to åpne, ikketomme mengdene [tex]X-\overline{A}[/tex] (komplementet av den lukkete mengden [tex]\overline{A}[/tex] i X, som da er åpen) og [tex]A[/tex], og da vil jo X være usammenhengende per def..

EDIT: For å bruke rene ord så er egentlig ideen å se på åpne kuler om det ene punktet med radier som er mindre enn avstanden mellom de to punktene, og derfra vise at det for alle positive radier må eksistere punkter som ligger på overflatene av disse kulene. Dermed oppnår man en bijeksjon mellom et åpent intervall i R og en delmengde av X, og siden intervaller i R er utellbare, må også delmengden i X være utellbar, og da følger det at X også må være utellbar.

Takk skal du ha. Dette hjalp faktisk veldig . Nå fikk jeg en mye bedre forståelse for tankegangen bak løsningen din. Setter veldig stor pris på det!