matematikk.net

Hei!

I matteboka står det følgende:
Hvis n er et naturlig tall, er [tex]cos(\theta \cdot n ) = cos^{n}\theta - {nC_2}cos^{n-2} \theta sin^2 \theta + {nC_4}cos^{n-4} \theta sin^{4} \theta[/tex]

Så vidt jeg kan forstå fra bokas korte forlkaring, utleder de den via de Moivres formel på følgende måte.

[tex]cos(\theta \cdot n) = (cos(\theta)+i sin(\theta))^{n} - i \cdot sin(\theta \cdot n) = \sum_{i=1}^{n} ( cos(\theta)^{n-i}\cdot (i \cdot sin(\theta))^{i} ) - i\cdot sin(\theta \cdot n)[/tex]

Men jeg kan bare ikke fatte hvordan det kan være riktig- hvor blir det av de imaginære leddene, og hvor ender [tex]isin(\theta \cdot n)[/tex] opp??
Jeg klarer hvertfall ikke utlede den første formelen ved hjelp av den siste. Gjør jeg noe galt?

Tusen takk for hjelp

Er ikke sikker, men ser ut som om dette er relatert til Chebyshev polynomials, der

[tex]\cos(n\theta)=T_n(cos(\theta))=\sum_{k\geq 0}^n{n\choose 2k}(-1)^k(\sin(\theta))^{2k} (\cos(\theta))^{n-2k}[/tex]