matematikk.net

Jeg har sett utgreining for ligning for parabola som gir at parabola er på formen

[tex]y=\frac{x^2}{4p}[/tex]

Men i simpsons rule for approksimering av integraler kaller de parabolas for


[tex]y=Ax^2+Bx+C[/tex]

Hvordan er sammenhengen?

Utgreining av parabola som jeg har skjønt den er at man har alle punkter med lik avstand fra et punkt og en linje i planet:

http://bildr.no/view/963255

hvordan kommer man seg til uttrykket brukt for simpsons rule. De kaller det i hvert fall for parabolas.

Man får den formen ved å forskyve den første likningen i x og y-retning, og så bytte ut alle konstanter med A, B og C.

Ax^2 + Bx + C er en helt generell parabol, og konstantene har ingen dypere mening.

burde bli noe sånt da?:

hvis x ikke er fra x=0 til punktet men fra x=k til punktet som skal være lik avstand fra linje. Og denne linjen er gitt ved en korreksjon for y slik at den fremdeles er halfway between directrix og focus.
Så vil parabola bli forskjøvet langs x-akse i positiv retning for økende k og parabola vil bli forskjøvet langs positiv y-retning for økende h.

[tex]\sqrt{(x-k)^2+((y-h)-p)^2}=\sqrt{(y-h)+p)^2}[/tex]

[tex](x-k)^2+((y-h)-p)^2=(y-h)+p)^2[/tex]

[tex]x^2-2kx+k^2+(y-h)^2-2p(y-h)+p^2=(y-h)^2+2p(y-h)+p^2[/tex]

[tex]x^2-2kx+k^2-2p(y-h)=2p(y-h)[/tex]



[tex]x^2-2kx+k^2=4py-4ph[/tex]

[tex]4py=x^2-2kx+k^2+4ph[/tex]

[tex]y=\frac{x^2}{4p}-\frac{2kx}{4p}+\frac{k^2}{4p}+h[/tex]

Vi sier at

[tex]A=\frac{1}{4p}[/tex] [tex]B=-\frac{2k}{4p}[/tex] [tex]C=\frac{k^2}{4p}+h[/tex]

[tex]y=Ax^2+Bx+C[/tex]

noe slikt?

Litt komplisert. Det er egentlig ikke nødvendig å utlede det fra starten, så lenge du vet at en parabol er gitt ved

[tex]y = kx^2[/tex].

Forskyver i x og y-retning:

[tex]y = k(x-a)^2 + c\\y = kx^2-2kax+ka^2 + c[/tex]

Og gir nye navn til konstantene for enkelhets skyld:

[tex]y=Ax^2+Bx+C[/tex]

Det er altså ligningen for alle mulige forskjøvede paraboler, som er det intervallene i Simpson's rule blir approksimert med.

Ok! Spør litt mer. Ikke helt oversikten her. Det du gjorde nå så vil x kunne forandre seg uten at y forandrere seg men hvordan tar man høyde fora t y forandrer seg uten at x forandrer seg blir det k det og?

Men kan man gjøre det på min måte og? Skulle tro man bare får at h og k kan gjøre korreksjon i forhold til den enklere framgangsmåten du viste med bare k.