Polynomer og algebra
Posted: 03/09-2011 17:33
Hei hei!
Jeg lurer på en oppgave fra kalkulus som lyder:
La [tex]f(x)[/tex] være et reelt polynom, og anta at [tex]a[/tex] er en rot med multiplisitet [tex]\ge 2[/tex]
Vis at a også er en rot i [tex]D[f(x)][/tex]
Her er mitt forsøk på en løsning:
Lar [tex]f(x)=C(x-a)^{m}(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_{n-m})[/tex] være et reelt polynom av n grad.
Da er [tex]f(x)=C \cdot D[(x-a)^m\cdot P(x)] =[/tex]
[tex]C\cdot (m(x-a)^{m-1}\cdot P(x) + (x-a)^m \cdot D[P(x)])[/tex]
[tex]= C(x-a)(m(x-a)^{m-2}\cdot P(x) + (x-a)^{m-1} \cdot D[P(x)])[/tex]
Og siden (x-a) er en faktor i D[f(x)] må nødvendigvis a være en rot.
Har brukt D[f(x)] og ikke f'(x) fordi latex ikke godtok den notasjonen.
Er dette riktig? Føler det er litt uelegant.
Jeg lurer på en oppgave fra kalkulus som lyder:
La [tex]f(x)[/tex] være et reelt polynom, og anta at [tex]a[/tex] er en rot med multiplisitet [tex]\ge 2[/tex]
Vis at a også er en rot i [tex]D[f(x)][/tex]
Her er mitt forsøk på en løsning:
Lar [tex]f(x)=C(x-a)^{m}(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_{n-m})[/tex] være et reelt polynom av n grad.
Da er [tex]f(x)=C \cdot D[(x-a)^m\cdot P(x)] =[/tex]
[tex]C\cdot (m(x-a)^{m-1}\cdot P(x) + (x-a)^m \cdot D[P(x)])[/tex]
[tex]= C(x-a)(m(x-a)^{m-2}\cdot P(x) + (x-a)^{m-1} \cdot D[P(x)])[/tex]
Og siden (x-a) er en faktor i D[f(x)] må nødvendigvis a være en rot.
Har brukt D[f(x)] og ikke f'(x) fordi latex ikke godtok den notasjonen.
Er dette riktig? Føler det er litt uelegant.
Du viser enkelt og greit at (x-a) kan faktoriseres ut etter derivasjonen. Kanskje du kort bør nevne at siden [tex]m \geq 2[/tex] så vil [tex](x-a)^{m-1}[/tex] og [tex](x-a)^{m-2}[/tex] bli potenser med ikke-negativ eksponent (som jo er et krav for polynomer), selv om det jo egentlig sier seg selv.