matematikk.net

Hvis man skal løse [tex]f(x)=\lim_{x\to0}x cos(\frac1{x})[/tex]

kan man da skrive om til [tex]\lim_{x\to0}x\cdot\lim_{x\to0}cos(\frac1{x})[/tex]

og siden [tex]\lim_{x\to0}x=0[/tex] så betyr det ikke noe hva [tex]\lim_{x\to0}cos(\frac1{x})[/tex] er for grenseverdien til f(x) blir uansett 0?

Nei, dette er ikke riktig argumentasjon for at grenseverdien blir 0. (Det er riktig at den blir 0, men det kan ikke begrunnes slik.)

Det gjelder at hvis [tex]\lim_{x \to a} f(x) = A[/tex] og [tex]\lim_{x \to a} g(x) = B[/tex] -- altså at f(x) og g(x) har grenseverdier A og B når [tex]x \to a[/tex] -- så vil [tex]\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)[/tex].

En forutsetning for at dette skal gjelde er altså at grenseverdien av hver faktor skal eksistere. Men eksisterer egentlig grenseverdien [tex]\lim_{x \to 0} \cos\left(\frac{1}{x}\right)[/tex]?

Et annet forslag til et argument er at cos(1/x) er en begrenset funksjon -- den har alltid verdi mellom 1 og -1. Så mens faktoren x går mot 0 så holder cos(1/x) seg mellom -1 og 1, og produktet må derfor også gå mot 0. (Det er sikkert noe sånt du har tenkt når du sier at det ikke har noe å si hva cos(1/x) går mot? Det har ikke noe å si så lenge man vet at funksjonen ikke vil vokse mot uendelig.) Hvis du skal være litt mer formell så kan du vise dette ved hjelp av skviseteoremet.

Jeg bare syns det blir så mye regning med skviseteoremet så hadde håpet jeg kunne gjøre det slik for å spare litt tid. Jeg så ikke den forutsetningen for produktregelen, men jeg skjønner jo at det må være sånn. Jeg skrev det ikke hadde noe å si som betydde at jeg slapp å regne det ut:), men hvis jeg ser på [tex]\lim_{x\to0^+}[/tex] og [tex]\lim_{x\to0^-}[/tex] så er det jo tydelig at den ikke eksisterer.
Takk for hjelpen!

Hint: La [tex]g(x)=-|x|[/tex] og [tex]h(x)=|x|[/tex]. Da er [tex]g(x)\leq x\cos{\frac{1}{x}}\leq h(x)[/tex].

Jeg tror det bør være nok å nevne at cos(1/x) er begrenset og at grensen derfor vil gå mot 0 siden faktoren x går mot 0. Men hvis du føler det kreves et mer formelt svar så er skviseteoremet altså veien å gå.