matematikk.net

Jeg har kommet til en oppgave som vil ha meg til å integrere en brøk med delivs integrasjon. Delvis integrasjon fungerer bare på produkter, men kan jeg da gjøre slik?

[tex]\int {lnx \over x^3} \, \mathrm{d}x \, \Leftrightarrow {\left \int x^{-3} \, lnx \right} \: \mathrm{d}x[/tex]

Selvom det er riktig, gjør jeg feil et eller annet sted. Argh, jeg surrer slik noen ganger.

[tex]{\left \int x^{-3} \, lnx \right} \: \mathrm{d}x = -{1 \over 4}x^{-4} \, lnx \: - \int -{1 \over 4}x^{-4} \: \cdot \: {1 \over x}[/tex]

[tex]= -{1 \over 4}x^{-4} \, lnx \: + \: {1 \over 4} {\left \int x^{-5} \right}[/tex]

[tex]=-{1 \over 4}x^{-4} \, lnx \: + \: {1 \over 4} \left(-{1 \over 6}x^{-6}\right)[/tex]

Det er ikke noe poeng å fortsette her, for det kommer ikke til å bli likt med fasiten.

Her er det en annen oppgave jeg holder på med:

[tex]{\left \int \sqrt{x} \, \cdot \, lnx \: \mathrm{d}x \right} = {2 \over 3}x^{3 \over 2} \: \cdot \: lnx \: - \int {2 \over 3}x^{3 \over 2} \: \cdot \: {1 \over x}[/tex]

[tex]= {2 \over 3}x^{3 \over 2} \: \cdot \: lnx \: - \: {2 \over 3} {\left \int \sqrt{x} \right}[/tex]

[tex]= \underline{\underline{{2 \over 3}x^{3 \over 2} \left(lnx \: - \: {2 \over 3} \right) \: + \: C}}[/tex]

Fasiten har skrevet svaret slik:
[tex]{2 \over 9}x^{3 \over 2}(3lnx \: - \: 2) \: + \: C[/tex]

Forskjellen er at de har ganget 3 inn i parentesen og med nevner. Har jeg gjort feil noe sted?

når du integrerer legger du alltid til et helt tall i power selv om det er negativt altså blir power:


-4+1=3 og ikke -4-1=-5

Der det står [tex]x^{-5}[/tex] er integrasjonstegnet fremdeles foran, så den er ikke integrert enda. Jeg tok en x fra den for å kvitte meg med [tex]1 \over x[/tex]. Derimot integreringen jeg har gjort etterpå er feil, takket være minus-tegnet, men det løser fremdeles ikke integralet.

Første oppgave:

Sett [tex]u = ln(x)[/tex] og [tex]v^\prime = x^{-3}[/tex]

Dette gir da:

[tex]u^\prime = \frac{1}{x}[/tex]

Og:

[tex]v = -\frac{x^{-2}}{2}[/tex]

Feilen ligger altså i at når du har integrert så har du gitt det integrerte uttrykket en potensverdi som er et heltall lavere enn uttrykket før du integrerete. Dette er feil. Det integrerte uttrykket skal i potensen ha et heltall som er et heltall høyere.

Tar du det herfra?

Jeg gikk litt fort i svingene, merker jeg. Det beviser hva et enkelt fortegn kan gjøre med en.

[tex]{\left \int x^{-3} \, lnx \right} \: \mathrm{d}x = -{1 \over 2}x^{-2} \, \cdot \, lnx \: - \int -{1 \over 2}x^{-2} \: \cdot \: {1 \over x}[/tex]

[tex]= -{1 \over 2}x^{-2} \, \cdot \, lnx \: + \: {1 \over 2} {\left \int x^{-3} \right}[/tex]

[tex]=-{1 \over 2}x^{-2} \, \cdot \, lnx \: + \: {1 \over 2} \, \cdot \, \left(-{1 \over 2}x^{-2}\right)[/tex]

(Dette ligner ikke fasiten i det hele tatt, men jeg antar det er lov å gjøre slik: [tex]-{1 \over 2}x^{-2} \quad \Leftrightarrow \quad -{1 \over 2x^2}[/tex])

[tex]=\underline{\underline{-{lnx \over 2x^2} \, - \, {1 \over 4x^2} \, + \, C}}[/tex]

Dette stemmer forsåvidt heller ikke med fasit, da fasit er slik: [tex]-{lnx \over x^2} \, - \, {1 \over 4x^2} \, + \, C[/tex]

Svaret ditt ser helt riktig ut det! Hvis fasiten mangler en 2-er i nevneren der så må det nesten være galt.

(En liten pirk: bytt ut ekvivalenstegnet med et likhetstegn. Det du mener er jo at de to uttrykkene er helt like, bare to forskjellige måter å skrive dem på! Ekvivalenstegnet betyr at to utsagn impliserer hverandre.)

Okay, takk for at du så gjennom det. Av erfaring vil jeg ikke for raskt trekke den konklusjon om at fasit er feil.

(Takk for at du pekte det ut. I dette tilfellet mente jeg egentlig å skrive likhetstegn; jeg vet ikke helt hva jeg tenkte da jeg skrev det. Men det minner meg likevel på at jeg bør se opp når implikasjonstegn og ekvivalenstegn skal brukes, slik at jeg får en avklaring i det, for jeg er litt usikker.)