matematikk.net

Satt på en forelesning der foreleseren gjorde ting litt merkelig.

Han snakket om polynomer der en matrise A var en løsning.
Eller gav en null matrise med samme dimensjoner som A.

Spørsmålet var å finne en matrise A opphøyd i hundre.
Og jeg aner ikke hva han bedrev på med...

Han skrev noe slikt som [tex]P A P^{-1}=B [/tex]

Også opphøyde han den i hundre, fant ut at den var

[tex]P A^{100} P^{-1} = P B P^{-1}[/tex]

Så hodet mitt er fullt av grøt.

Han snakket også om egenvektorer som var løsninger av polynomet som man fikk ved å regne ut determinanten til matrise A.

Men kunne noen forklare steg for steg hvordan jeg ganger en matrise med seg selv 100 ganger, ved å bruke egenvektorer og determinanter?

For eksempel

-1 2
0 3

Forstår at det blir litt lettere om matrisen hadde kun ledd diagonalt, for eksempel

3 0
0 -1

Men ja... Litt hjelp, akkuratt nå forstår jeg ingenting...

En diagonaliserbar matrise B kan skrives på formen [tex]PAP^{-1}[/tex] hvor (hvis hukommelsen min funker) [tex]P = [v_1 v_2][/tex] (egenvektorene til B), og [tex]A =\left[\lambda_1\ 0\\0\ \lambda_2\right][/tex] (egenverdiene).

Hvis du nå har matrisen på denne formen (som kan finnes ved å finne egenvektorer og egenverdier), finner du at:
[tex](PAP^{-1})^2 = PAP^{-1}PAP^{-1} = PA^2P^{-1}[/tex] og så videre.

A^n er lett å finne, fordi dette er en diagonal matrise. Prøv selv å finne A^2, A^3 osv. Determinanter har egentlig ikke så veldig mye med dette å gjøre, bortsett fra at de brukes i den eksplisitte formelen for den inverse, som er spesielt mye brukt for 2x2-matriser som P.

Bevis ting, og gjør oppgaver, så skjønner du det fort.

Jeg var også tilstede på forelesningen. Voldsomt med digresjoner foreleseren kom med, han begynte å prate om egenvektorer og egenverdier ut av det blå, når vi kun har hatt om løsning av lineære ligningssystemer og litt om matriseoperasjoner. Han kommer nok tilbake til det senere, Nebu!

På slutten begynte han til og med å prate om grupper innen abstrakt algebra, og noe med at for alle toerpotenser fantes det flere forskjellige grupper enn med andre tall. Et eller annet jeg håper ingen i salen forsto. Kan vel sees på som en forsmak til senere emner.