matematikk.net

Trenger litt hjelp igjen!

Her er oppgaven:

En snøball smelter slik at overflaten avtar med 1 cm2/min. Finn hvor raskt diameteren avtar når diameteren er 10 cm.

Dette har jeg prøvd:

[tex]A=4\pi r^2[/tex]
[tex]r_0=5cm[/tex]
[tex]A_0=100\pi cm^2[/tex]

[tex]\cancel{A(t)=100\pi - t}[/tex]
[tex]\cancel{A(t) = 4\pi r^2 - t}[/tex]

Så langt strekker skribleriet seg. Er ikke så dreven på inverse funksjoner.

Hint: [tex]A=4\pi r^2\Rightarrow \frac{dA}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}=2\pi D\frac{dD }{dt}=-1[/tex], der [tex]D=2r[/tex]

Ok, så hvis jeg har forstått det riktig så deriverte du implisitt mhp. t på begge sider?

Så: [tex]\frac{d}{dt}r^2 = 2r\frac{dr}{dt}[/tex]

Men hvordan gikk du fra [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] til [tex]\frac{dD}{dt}[/tex]?

Ser du hadde [tex]8\pi r\frac{dr}{dt}[/tex]

8ern ga fra seg 2 til r, slik at 2r ble D, så da har den igjen 4.

Så har den gitt fra seg 2 for å gjøre om [tex]\frac{dr}{dt}[/tex] til [tex]\frac{dD}{dt}[/tex]?

Der datt jeg av.

Riktig. Grunnen er at derivasjonsoperatoren er lineær, dvs. at [tex]k\frac{dr}{dt}=\frac{d(kr)}{dt}[/tex] for konstanter k.

Ah, nå ringer mine bjeller!

[tex]\frac{dD}{dt} = \frac{d}{dt}[D] = \frac{d}{dt}[2r][/tex]

Glemte at [tex]\frac{d}{dt}[/tex] kan behandles som en faktor i slike tilfeller.

Mange takk, mister!

Nja, som helt vanlig faktor kan den jo ikke behandles, siden en operator per definisjon virker mot høyre, men jeg forstår jo hva du mente.

Hehe, jeg tar på meg skylda for feilformuleringa. Hva gjør man ikke for å lette litt på tyngden?

Men videre, siden vi har fått oppgitt at[tex] \frac{dA}{dt} = -1[/tex], blir dette rett fremgangsmåte?

[tex]2\pi D\frac{dD}{dt}=-1[/tex]

[tex]\frac{dD}{dt} = -\frac{1}{2\pi D}[/tex]

[tex]\frac{dD}{dt} = -\frac{1}{20\pi}[/tex]

Med D som opprinnelig diameter, 10cm.

Ja, ser riktig ut dette:)