matematikk.net

Vann renner ut av en tank formet som en sirkulær kjegle satt opp ned. Det renner ut 10.000 cm3/min samtidig som vann blir pumpet inn med en konstant rate. Tanken er 6 m høy og har en diameter på 4 m på toppen. Vannnivået stiger med 20 cm/min når vanndybden er 2 meter. Finn hvor mye vann som pumpes inn i tanken per minutt.

Jeg har kommet så langt som å definere volumet av kjeglen, og av dersom vannstanden V er en funksjon av dybden d, så er V'(2)=20cm/min.

Trenger litt hjelp på denne. Kommer meg ikke i gang med regninga...

EDIT: For å utdype; jeg får ikke definert en funksjon for vannvolumet mhp. vannstanden (høyda). Jeg får heller ikke til å hoppe rett inn i en definisjon for den deriverte av V(d).

Hei,

vi vet at massen er bevart i systemet, så vi kan sette opp at

[tex] \frac{dV}{dt} = x - 10 000[/tex] der x er svaret vi søker.

Trenger uttrykket for [tex] \frac{dV}{dt}[/tex].

Vet at [tex] V =\frac{ \pi r^2 h}{3}[/tex]
Trenger nå å uttrykke r med hensyn på h siden vi har informasjon om hvordan høyden forandrer seg, men ikke om radiusen.

Formlikhet gir at [tex] r=\frac{h}{3}[/tex]

Da sitter vi med uttrykket

[tex] V = \frac{\pi (\frac{h}{3} )^2 h}{3}[/tex]

Veien videre blir implisitt derivasjon!

Aiai, det ble litt fysikk ja...

Men kapitlet heter "related rates", så det å bruke fysikk blir kanskje litt kontraproduktivt, da det er related rates jeg skal lære.

Fasitsvaret er [tex]10.000+800.000\frac{\pi}{9}[/tex] men akk...

Ikke mye fysikk som behøves her. Stort sett geometri+diff.ligning:

Vannets volum: [tex]V(h)=\frac{\pi h^3}{27}[/tex].

Oppgitt at [tex]\frac{dV}{dt}=k-10000[/tex] og at [tex]\frac{dh}{dt}=20[/tex] når [tex]h=200[/tex].

[tex]\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}=k-10000[/tex]

Edit: skulle selvsagt være h=200cm, ikke 2 slik jeg skrev.

Konge, der sank den inn. Takker!

Noe jeg glemte å spørre om. Hvordan gikk det for seg at r=h/3?

Formlikhet av to rettvinklede trekanter hvis kateter er vannhøyden og radius til disken som utgjør overflaten av vannet.

Ah, ser det nå. Hadde glemt at radiusen til tanken var definert i oppgaveteksten. Sett meg blind på hele greia tydeligvis.