matematikk.net

I dette eksemplet finner de en Taylorrekke som blir en geometrisk rekke som konvergerer til 1/x når r er -1<r<1 og man har vist at taylorrekken er en framstilling av 1/x:

http://bildr.no/view/969018 (I)

Jeg lurer på dette theoremet:

http://bildr.no/view/969025

http://bildr.no/view/969020

Grunnen til at man kan approksimere en funksjon med et taylorpolynomial er forklart her i boka og skulle tru det gir mening:

http://bildr.no/view/969022

http://bildr.no/view/969023

men hvordan vet man at det går og at det blir en bedre approksimasjon enn en linearisering?

Forklaringen sier slik jeg ser det da at man kan skrive om en powerserie ved å finne uttrykk for de deriverte og deretter uttrykk for [tex]a_n[/tex]
ved dem og så må man anta at en serie kan skrives om til en taylorrekke men hvordan vet man at det går opp?




Det jeg lurer mest på er altså hvordan viser man at taylorapproksimasjonene er andre måter å skriver funksjoner på som i (I) og at man kan bruke dem til å approksimere verdier rundt x=a bedre enn ved linearisering?

altså hvis man skulle forbedre en linearisering kunne man tatt høyde for positiv eller negativ akselerasjon og ganget dette med x. Vi har i hvert fall at fart, v, er gitt ved:

[tex]v_t=v_0+a_t t[/tex] [tex]s_t=v_0 t+\frac{1}{2}a_t t^2+C[/tex]

som er de to første leddene av taylorpolynomialet og siden vi har funnet strekning vil C være startverdi til strekninig. På samme måten kan man ta utgangspunkt i jerk integrere og finne akselreasjon. Integrere dette og finne fart integrere dette og finne posisjon. Da står man igjen med de 4 første leddene i et taylorpolynomial:

[tex]j=j_t[/tex] [tex]a=a_0 +j_t t[/tex] [tex]v=v_0 + a_0 t +\frac{1}{2}j_t t^2[/tex] [tex]s=s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t +\frac{1}{6}j_t t^3[/tex] (II)


Men det jeg lurer på er hva er egentlig reglene for C når man integrerer. Blir det feil med (II) på grunn av det? Hvis man finner akselerasjon fra jerk så blir det jerk ganget med t + en startakselerasjon men hvis dette ikke var jerk akselerasjon fart og plassering og x betydde bare en ting så kunne man da beholdt C. Hva gjør man da? Fant en slik oppskrift på nettet på et forum:

http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=152508

første innlegg til HallsofIvy

Når jeg gjør det lignende får jeg:

[tex]\frac{d^4y}{dx^4}=\frac{d^4y}{dx^4}(a)[/tex]
[tex]\int \frac{d^4y}{dx^4}dx=\frac{d^4y}{dx^4}(a)x+C[/tex] (III)

Vi vil finna C i punktet for approksimasjonen altså i a:
[tex]C=\frac{d^3y}{dx^3}(a)-\frac{d^4y}{dx^4}(a)a[/tex] vi setter inn dette i (III)

[tex]\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d^4y}{dx^4}(a)x+\frac{d^3y}{dx^3}(a)-\frac{d^4y}{dx^4}(a)a[/tex]

som vi skriver som:

[tex]\frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d^4y}{dx^4}(a)(x-a)+\frac{d^3y}{dx^3}(a)[/tex]

så integrerer man en gang til:

[tex]\frac{d^2y}{dx^2}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^3y}{dx^3}(a)x+C[/tex] (IV)

Prøver å finne C i x=a igjen:

[tex]\frac{d^2y}{dx^2}(a)=\frac{d^3y}{dx^3}(a)a+C[/tex]

[tex]C=\frac{d^2y}{dx^2}(a)-\frac{d^3y}{dx^3}(a)a[/tex]

Setter inn i (IV):

[tex]\frac{d^2y}{dx^2}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^3y}{dx^3}(a)x+\frac{d^2y}{dx^2}(a)-\frac{d^3y}{dx^3}(a)a[/tex]

som blir:

[tex]\frac{d^2y}{dx^2}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^3y}{dx^3}(a)(x-a)+\frac{d^2y}{dx^2}(a)[/tex]

Integrerer:

[tex]\frac{dy}{dx}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{6}(x-a)^3+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^2y}{dx^2}(a)x+C[/tex] (V)

Setter igjenx=a for å finne C i punktet a:

[tex]\frac{dy}{dx}(a)=\frac{d^2y}{dx^2}(a)a+C[/tex]

[tex]C=\frac{dy}{dx}(a)-\frac{d^2y}{dx^2}(a)a[/tex]

Setter inn i (V)

[tex]\frac{dy}{dx}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{6}(x-a)^3+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^2y}{dx^2}(a)x+\frac{dy}{dx}(a)-\frac{d^2y}{dx^2}(a)a[/tex]

som blir:

[tex]\frac{dy}{dx}(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{6}(x-a)^3+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{d^2y}{dx^2}(a)(x-a)+\frac{dy}{dx}(a)[/tex]

integrerer:

[tex]y(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2\cdot3\cdot4}(x-a)^4+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2\cdot3}(x-a)^3+\frac{d^2y}{dx^2}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{dy}{dx}(a)x+C[/tex] (VI)

finner C når x=a:

[tex]y(a)=\frac{dy}{dx}(a)a+C[/tex]


[tex]C=y(a)-\frac{dy}{dx}(a)a[/tex]

Setter inn i (VI):

[tex]y(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2\cdot3\cdot4}(x-a)^4+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2\cdot3}(x-a)^3+\frac{d^2y}{dx^2}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{dy}{dx}(a)x+y(a)-\frac{dy}{dx}(a)a[/tex]

som blir:

[tex]y(x)=\frac{d^4y}{dx^4}(a)\frac{1}{2\cdot3\cdot4}(x-a)^4+\frac{d^3y}{dx^3}(a)\frac{1}{2\cdot3}(x-a)^3+\frac{d^2y}{dx^2}(a)\frac{1}{2}(x-a)^2+\frac{dy}{dx}(a)(x-a)+y(a)[/tex]

men blir det jeg gjorde med utgangspunkt i jerk feil da?