matematikk.net

Hei!

Oppgaven lyder som følgende:

Bruk ideen fra forrige oppgave til å vise at dersom [tex]n \in N[/tex] ikke er et kvadrattall, så er [tex]sqrt(n)[/tex] irrasjonal.

Ideen fra forrige oppgave går på utrykke ting ved å sette f. eks. [tex]sqrt(n) = a/b[/tex] hvor a og b er primtallsfaktorisertetall! Eks.: [tex]2*3*7*5^2[/tex] etc.

Så jeg prøvde følgende da:
Kvadrattall er [tex]n^2[/tex]
[tex]sqrt(n^2)[/tex] er et rasjonelt tall!
[tex]sqrt(n^2) = a/b[/tex]
[tex]n^2 = a^2/b^2[/tex]
[tex]n^2 * b^2 = a^2[/tex]

Slutt!
Hvis dette er feil, hvordan burde jeg gå frem :/ ?
Takk! Jeg utrolig usikker på alt som har med bevis å gjøre... Takk for alle pekepinner.

EDIT:

Ja! Jeg har visst rota hardt!
Prøver dette da?
[tex]sqrt(n^2 - 1)[/tex] er ikke et kvadrattall
[tex]sqrt(n^2 - 1) = a/b[/tex] a og b er primtallsfaktorer
[tex]n^2 - 1 = a^2/b^2[/tex]
[tex]b^2(n^2 - 1) = a^2[/tex]
[tex]a^2 = (bn)^2 - b^2[/tex]
[tex]a^2 + b^2 = (bn)^2[/tex]
Den høyre siden kan jo aldri bli likt venstre... :p
Hjelp :p

Jeg kan ikke helt se at konklusjonen din stemmer overens med det du skulle vise?

Du skal vise at hvis du tar et naturlig tall som ikke er et kvadrattall -- altså et tall som ikke har alle primfaktorene opphøyd i en partallig potens -- så vil kvadratroten av tallet bli et irrasjonalt tall.

Kan du si litt mer spesifikt hva den forrige oppgaven gikk ut på? Hva var oppgaveteksten?

ideen fra forrige oppgave er vel antakeligvis å vise at roten av to er irrasjonalt

OK! Jeg har oppdatert første posten nå!

Jeg tror du er litt på villspor her. Hvordan vet du at det du sier til slutt er sant? Og hvorfor ser du egentlig på tallet [tex]n^2 - 1[/tex]?

Det du bør gjøre her er å ta utgangspunkt i primtallsfaktoriseringen av [tex]n[/tex] når [tex]n[/tex] ikke er et kvadrattall. Hvis [tex]n[/tex] ikke er et kvadrattall så må det ha minst én primfaktor som ikke har partallig eksponent. Er du med på dette? Hvis alle primfaktorene er opphøyd i en partallig eksponent så vil du jo kunne ta kvadratroten av tallet og stå igjen med et produkt av bare heltallige faktorer (potensen halveres bare i hver potens.)

Når vi tar kvadratroten av [tex]n[/tex] så vil roten av eventuelle primtallsfaktorer som er opphøyd i en partallig eksponent bli et nytt heltall. Hvis det er en primtallsfaktor [tex]s[/tex] opphøyd i en oddetallig eksponent større enn 1 så har vi at [tex]\sqrt{s^{2k+1}} = \sqrt{s \cdot s^{2k}} = s^k \sqrt s[/tex] -- et helt tall ganger kvadratorten av primfaktoren.

Poenget med dette er at vi da kan skrive [tex]\sqrt n[/tex] som [tex]\sqrt n = m\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] der [tex]m[/tex] er kvadratroten av alle partallige potenser av primtall, som er et helt tall, og [tex]p_i[/tex] er primtall. Et rasjonalt tall ganger et irrasjonalt tall blir et nytt irrasjonalt tall, så hvis [tex]\sqrt n[/tex] skal være irrasjonal så må altså [tex]\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] være irrasjnalt.

Det du egentlig må vise er altså at [tex]\sqrt{p_1 \cdot p_2 \cdots p_n}[/tex] er irrasjonalt. For å gjøre det så må du tenke litt i de samme banene som du har gjort ovenfor. Vi kan kalle primtallsproduktet for f.eks. q. Da kan du begynne med å anta at [tex]\sqrt q[/tex] er et rasjonalt tall, altså at [tex]\sqrt q = \frac{a}{b}[/tex], der a og b ikke har noen felles faktorer (altså at brøken er maksimalt forkortet.) Kan du vise at dette fører til en selvmotsigelse?