matematikk.net

Hei!

Sitter og repeterer litt på funksjoner, og har kommet til en oppgave jeg stusser litt på hvordan jeg skal løse. Funksjonen g er gitt:

[tex]{(x-1)^2,Der:0\leq x\leq 3/2[/tex]
[tex]kx-1,Derx>3/2[/tex]

Beklager litt rotete føring, håper det er forståelig.

Oppgaven er å finne k slik at g(x) er kontinuerlig i x=3/2. Kanskje noen kan hjelpe?

Husker du hva kravet er for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt?

Hei!

Slik jeg husker det måtte man få samme svaret når man lå samme verdien inn for x for at funksjonen skulle være kontinuerlig. Stemmer det?

Jeg prøvde å se på uttrykket [tex](x-1)^2[/tex]

Der får man jo x=1 isolert sett. Men hvis man skal ha at x=1 i uttrykket under, så stemmer vel ikke ulikheten om at uttrykket er større enn 3/2?

Ja, hvis funksjonen skal være kontinuerlig så må grenseverdien når x går mot 3/2 fra venstre være lik grenseverdien når x går mot 3/2 fra høyre -- og dette må også være lik funksjonsverdien akkurat i punktet x = 3/2. For å si det litt mer matematisk så må

[tex]\lim_{x \to 3/2^{-}} \ g(x) \quad = \quad \lim_{x \to 3/2^{+}} \ g(x) = g(3/2)[/tex]

Så det du må finne er altså disse grenseverdiene. Da må du huske at i grenseverdien når x går mot 3/2 fra venstre på tall-linjen så er x mindre enn 3/2, og når x går mot 3/2 fra høyre så er x større enn 3/2. Du må altså passe på å velge riktig funksjonsuttrykk når du regner ut grenseverdien.

Prøv på det og se hvor langt du kommer!

(Jeg tror kanskje du har skrevet en feil? I definisjonen din skal det vel stå enten mindre eller lik 3/2 i øverste linje eller større eller lik 3/2 i nederste linje? Hvis ikke er ikke funksjonen definert i x = 3/2, og da gir det ikke mening å snakke om at den er kontinuerlig i det hele tatt.)

Takk for god hjelp, jeg skal prøve på det og se om jeg kommer i mål

Du har helt rett, jeg har skrevet feil, men visste ikke hvordan jeg fant det kombinerte tegnet "mindre enn eller lik". Kanskje du vet kommandoen i latex?:)

\leq for mindre eller lik (leq = Less or EQual) og \geq (Greater or EQual) for større eller lik.

Da var det endret:)

Hei igjen!

Når jeg prøver meg på det første uttrykket, så står det jo at x må være større enn eller lik 0, og mindre enn eller lik 3/2. Er det ikke slik da at når man prøver seg med verdier for x, for å finne grenseverdien, så prøver man nærmere og nærmere 3/2 og ser hvilket tall man nærmer seg? Ser i så fall ut for meg at man nærmer seg 0,25. Men i så fall så ser jeg ikke hvordan man kan teste det samme i den andre linjen, for der har man jo to ukjente?

Du trenger ikke å sjekke forskjellige tall. Har du regnet ut grenseverdier før?

Her får du at [tex]\lim_{x \to 3/2^-} \ g(x) = \lim_{x \to 3/2^-} \ (x-1)^2 = \left(\frac{3}{2} - 1\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}[/tex] (som du også fant ved å sjekke tall som er nærme 3/2.)

Når du regner ut grenseverdien i det andre uttrykket så gjør du dette på lignende vis. Da må du som du sier bruke det nederste uttrykket. Hva får du når du regner ut den grenseverdien?

Da blir det nederste

[tex]\lim_{x \to 3/2^+}\ g(x)=kx-1=\frac{3}{2}k-1[/tex]

Blir det da riktig å sette det lik 0 og løse for k? Eller må jeg sette det som en ulikhet som er større enn 3/2?

Neida, dette er helt riktig så langt! Når x nærmer seg 3/2 så vil jo kx - 1 nærme seg k * 3/2 - 1!

Nå bruker du som du sier at dersom g(x) skal være kontinuerlig, så må denne grenseverdien være lik den andre grenseverdien og funksjonsverdien i punktet -- som er 1/4. Da kan du bestemme verdien for k.

Aha!

Da setter jeg:

[tex]\frac{3}{2}k-1=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]k=\frac{1,25}{1,5}=0,833[/tex]

Da fikk jeg samme svaret på begge uttrykkene Da er jeg vel i mål?:)

Da er du i mål ja!

Hvis du vil se dette fra et grafisk synspunkt så er [tex]y = (x-1)^2[/tex] som du sikkert vet en parabel, mens [tex]y = kx - 1[/tex] er en linje. Det du har gjort nå er å finne konstanten k (stigningstallet til linja) som gjør at den akkurat treffer parabelen i punktet x = 3/2. Da møtes altså de to grenene av funksjonen, og da blir funksjonen g kontinuerlig fordi den "henger sammen" (har samme y-verdi) i punktet.

Helt supert, takk for at du tok deg tid til å forklare og vise, neste oppgave er ganske lik, nå bør den gå helt fint!:)

Ha en fin kveld videre!