matematikk.net

Assuming that [tex]\gcd(a,b)=1[/tex], prove the following
[tex]\gcd(a+b,a-b)=1[/tex] or [tex]2[/tex]

Nå tenkte jeg en god stund på denne oppgaven... Kom frem til følgende. Problemet var at det stod 1 eller 2 over, som gjorde ting litt værre.

Kan noen si hva jeg har gjort galt / riktig i resonnementet mitt under. / Eventuelt en riktig-/ere måte å føre dette på?

Vi begynner med hintet som er gitt i oppgaven nemmlig at vi lar

[tex]d = \gcd(a+b,a-b)[/tex]

Som er det samme som at

[tex]d | x(a+b)+y(a-b)[/tex]

Velger vi litt smarte verdier for x og y, ser vi at

[tex]d | 1(a+b)+1(a-b) \Rightarrow d | 2a[/tex]

og

[tex]d | 1(a+b)+(-1)(a-b) \Rightarrow d | 2b[/tex]

Herfra er jeg usikker på hva jeg skal gjøre.

Siden vi vet at d deler 2b og at d deler 2a, så kan vi skrive at

[tex]d \leq gcd(2a,2b)[/tex]

[tex]d \leq 2 gcd(a,b)[/tex]

[tex]d \leq 2[/tex]

QED?

Ser riktig ut dette, syns jeg.

Akkurat slik det skal gjøres!

Nå begynner ting å sitte... *se på klokkevideoer*