matematikk.net

Hei.

Jeg er litt usikker på om jeg har løst følgende oppgave riktig. Setter derfor veldig stor pris på innspill/kommentarer.

Oppgave: For any two real sequences [tex]\{a_n\}, \{b_n\}[/tex], prove that

[tex]\lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex]

provided the sum on the right is not on the form [tex]\infty - \infty[/tex].


Ok. Min løsning (på engelsk):

Consider a sequence [tex]\{n_k\}[/tex] of positive integers, such that [tex]n_1 < n_2 < n_3 < . . .[/tex]. For [tex](a_n + b_n)[/tex] there must exist a subsequence, [tex](a_n_i + b_n_i)[/tex] such that [tex]\lim_{n \to \infty}(a_n_i + b_n_i) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n)[/tex]

However, it is not certain that [tex]\lim_{n \to \infty} (a_n_i)[/tex] as defined above is an upper limit for [tex]\{a_n\}[/tex] or that [tex]\lim_{n \to \infty} (b_n_i)[/tex] is an upper limit for [tex]\{b_n\}[/tex]. Thus we may define [tex]\lim_{n \to \infty} (a_n_i) \leq \lim_{n \to \infty}(a_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n)[/tex] and we may define [tex]\lim_{n \to \infty} (b_n_i) \leq \lim_{n \to \infty} (b_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex].

This gives us:

[tex]\lim_{n \to \infty}(a_n_i + b_n_i) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty}(a_n_j) + \lim_{n \to \infty}(b_n_j) = \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex].

And the desired inequality:

[tex]\lim_{n \to \infty} sup(a_n + b_n) \leq \lim_{n \to \infty} sup(a_n) + \lim_{n \to \infty} sup(b_n)[/tex]

follows.

Setter som sagt stor pris på kommentarer/rettelser.

Noen som vet?

Jeg synes det ser rigorøst ut. Men ikke ta det med for stor slagkraft. Jeg har nettopp begynt med limsup og slikt selv.

Takk for kommentaren!

Fint at det ser bra ut. Må innrømme at det er utrolig herlig å jobbe med rekker og følger igjen, som jeg er ganske kjent med, etter å ha slitt voldsomt med topologi i det foregående kapittelet.

Hvordan emne er det du jobber med?
Jeg tar et emne nå hvor jeg hadde akkurat samme problemet som deg med topologi. Hehe.

Jeg tar MAT211 - Reell Analyse, ved UiB. Pensum er Rudins "Principles of Mathematical Analysis". Regner med du tar noe lignende ved NTNU?

Vi har jo at [tex]\sup_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq \sup_{k\geq n}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k)[/tex] for alle n, så tar vi grensene fås

[tex]\lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq \lim_{n\to\infty} ( \sup_{k\geq n}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k))[/tex]

Vi vet jo også at supremumsgrensa for følger på den utvidede reelle tallinja alltid konvergerer, så

[tex] \lim_{n\to\infty} ( \sup_{k\geq k}(a_k)+\sup_{k\geq n}(b_k))=\lim_{n\to\infty} \sup_{k\geq k}(a_k)+\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}(b_k)[/tex]

burde holde sålenge uttrykket til høyre ikke er på formen [tex](\pm) \infty +(\mp)\infty[/tex]

Takk for input, plutarco. Dette er jo også en logisk måte å se på problemstillingen

Ja, jeg tar "Analysens grunnlag". Hvordan er Rudins bok?

Rudins bok er krevende, men "rewarding". Når man først klarer å se lyset setter man pris på at boken er to-the-point og forklarer ting rett frem uten unødvendige distraksjoner. Men oppgavene er ofte veldig vanskelig, og uten fasit kan det i blant være litt frustrerende.

Takk. Jeg lurer nemlig på å kjøpe den selv, ettersom det er en litt sprikende litteraturliste i dette faget. Så er det jo også fint med flere kilder.