matematikk.net

Jeg lurer på et sitat fra boka fra denne siden:

http://bildr.no/view/979660

jeg lurer på hva de mener med Discontinuous functions that are integrable include thoose that are increasing on [a,b]

Hva er det som gjør at diskontinuerende funksjoner som øker på et intervall er integrerbare? Altså hvorfor skriver de dette. Må funksjoner soom øker på et intervall og er diskontinuerende være integrerbare?

Funksjonen trenger ikke bare være økende, så lenge den oppfører seg monotont på [a,b].
Grunnen til at dette gjelder for funksjoner som tilfredstiller dette, og samtidig at diskontinuitetene er av en viss type ("removable discontinuities" eller "jump discontinuities", men det er de for slike funksjoner vi er interessert i!) er fordi mengden med diskontinuitetene er tellbar. Altså er det et endelig antall slike diskontinuerlige punkter. Dette er Frodas teorem.

Det andre spørsmålet er jeg ikke helt sikker på men jeg tror nei:
Hvis funksjonen ikke er begrenset vil den heller ikke være integrerbar. f.eks [tex]f(x)= \frac{1}{2x-4}[/tex] over [2,b] er ikke integrerbar selv om den oppfører seg monotont på intervallet, men den er integrerbar for (2,b]. Og det er her jeg blir litt usikker

men kan den ikke øke og minke over et intervall altså ikke være monotom og ha et tellbart discontinuties. Kan den da ikke være integrerbar?

Jeg er ikke sikker på om jeg forstod deg rett, men det er det at den er monoton som fungerer som et sikkerhetsnett for at den har et tellbart antall diskontinuiteter.
En funksjon på et kompakt intervall [a,b] er integrerbar hvis og bare hvis funksjonen er begrenset og har et tellbart antall diskontinuiteter. Dette er Lebesgues integrerbarhetskriterie.

jeg fant definisjon for monotom på internett til å være at stigningstallet var konstant negativt eller positivt. Stemmer det?
Hvis dert stemmer lurer jeg på hvorfor er det et sikerhetsnett for at den her et tellbart antall diskontinuiteter?