matematikk.net

Hei.

Setter pris på om noen kan vurdere om jeg har gjort et bevis korrekt. Oppgaven lyder:

If [tex]f[/tex] is defined on [tex]E[/tex], the graph of [tex]f[/tex] is the set of points [tex](x, f(x))[/tex], for [tex]x \in E[/tex]. In particular, if [tex]E[/tex] is a set of real numbers, and [tex]f[/tex] is real-valued, the graph of [tex]f[/tex] is a subset of the plane.

Suppose [tex]E[/tex] is compact, and prove that [tex]f[/tex] is continuous on [tex]E[/tex] if and only if its graph is compact.


OK. I forbindelse med oppgaven bruker jeg følgende teoremer fra Rudin:

Theorem 4.8: A mapping [tex]f[/tex] of a metric space [tex]X[/tex] into a metric space [tex]Y[/tex] is continuous on [tex]X[/tex] if and only if [tex]f^{-1}(V)[/tex] is open in [tex]X[/tex] for every open set [tex]V[/tex] in [tex]Y[/tex].

Theorem 4.14: Suppose [tex]f[/tex] is a continuous mapping of a compact metric space [tex]X[/tex] into a metric space [tex]Y[/tex]. Then [tex]f(X)[/tex] is compact.

Theorem 4.19: Let [tex]f[/tex] be a continuous mapping of a compact metric space [tex]X[/tex] into a metric space [tex]Y[/tex]. Then [tex]f[/tex] is uniformly continuous on [tex]X[/tex].



OK. Løsning: Begynner med å bevise i forward direction:

Given the compact set [tex]E[/tex]. Assume that the mapping [tex]x \rightarrow (x, f(x))[/tex] is continuous. It then follows from theorem 4.14 that the graph also must be compact.

Backwards direction:

Proof by contradiction -

Suppose [tex]E[/tex] is compact and assume we have a graph [tex](x, f(x))[/tex] for [tex]x \in E[/tex] that is not compact. Accoring to the Heine-Borel theorem this means that the graph is either open or unbounded.

Suppose first that the graph [tex](x, f(x))[/tex] is open. Then, according to theorem 4.8, the graph's inverse image must also be open for the function to be continuous. However, since we assume that [tex]E[/tex] is compact this must mean that the function can not be continuous. Hence, the graph must be closed for [tex]f[/tex] to be continuous.

Now suppose that the graph [tex](x, f(x))[/tex] is unbounded. Then the graph is not uniformly continuous since we can find a [tex]\delta > 0[/tex] and [tex]\epsilon > 0[/tex] such that for two values [tex]x[/tex] and [tex]y[/tex] in [tex]E[/tex] we have that [tex]|x - y| < \delta[/tex] whereas [tex]|f(x) - f(y)| \geq \epsilon[/tex]. According to theorem 4.19 this graph is therefore not continuous either. Hence, the graph must be bounded for [tex]f[/tex] to be continuous.

Since we have shown that the graph must be be both closed and bounded for [tex]f[/tex] to be continuous, the graph must be compact.

QED

Setter stor pris på innspill/kommentarer!

Det stemmer ikke at en mengde er åpen eller ubegrenset dersom den ikke er kompakt. Det heine-borel derimot gir er at mengden enten ikke er lukket, eller er ubegrenset. En mengde trenger ikke nødvendigvis være enten åpen eller lukket.

Videre trenger ikke åpne mengder i E være åpne mengder i R. Spesielt vil inversbildet (antagelig mener du inversbildet av R x R) til funksjonen gitt ved x --> (x,f(x)) fra E til R x R selvsagt være E, som er kompakt (og dermed lukket) i R. Men E er derimot åpen i E.

En liten semantisk detalj: du skriver (på engelsk) at "Anta at x --> (x,f(x)) er kontinuerlig." Jeg regner med at du mener at vi vet dette, og da burde du ikke skrive at du antar det (uten å bevise det). Vi skriver at vi antar det dersom vi senere beviser det, eller finner ut at det ikke kan stemme (og i så fall motbeviser det).

Men det viktigste er vel kanskje at i andre delen av beviset vil du vise at "grafen er kompakt --> E er kompakt", siden du allerede har vist at "E er kompakt --> grafen er kompakt". Da hjelper det ikke å vise at "grafen er ikke kompakt --> E er ikke kompakt". Hvis du vil bruke bevis ved motsigelse må du derimot vise at "E er ikke kompakt --> grafen er ikke kompakt".

Hint til "grafen er kompakt --> E er kompakt".

Anta at grafen er kompakt, og la {U_i} være en åpen (i R) dekning av E.

1) Er U_i x R en åpen dekning av grafen?
2) Hva kan du si om {U_i} i så fall?

Jeg tolker egentlig den oppgaven som at du skal vise at dersom E og grafen er kompakt, så er f kontinuerlig. Det står da vitterlig

"prove that f is continuous on E if and only if its graph is compact."

Auda, jeg leste noe helt annet. Får bare ignorere det jeg har skrevet, jeg lar deg ta over her plutarco.

Takk for tipsene alle sammen. Jeg skal se nærmere på oppgaven.

Kommentarer til den første implikasjonen:

- Vi har et teorem som sier at en avbildning inn i et produktrom er kontinuerlig hvis og bare hvis komponentavbildningene er kontinuerlige.

- La [tex]g:E\to \mathbb{R}\times \mathbb{R}[/tex] være definert ved at [tex]g(x)=(x,f(x))[/tex]. Siden både identiteten og f er kontinuerlige, er g kontinuerlig, og da er g(E) kompakt siden E er kompakt.

En annen ting. Det motsatte av åpen er vel ikke lukket siden en mengde både kan være åpen og lukket samtidig, eller ingen av delene, f.eks. halvåpne intervaller i R.

Hei igjen!

I og med at jeg hadde obligatorisk fremføring stilte jeg på forelesning i dag. Spurte da om denne oppgaven, og fikk forklart fremgangsmåte. Tror derfor ikke jeg trenger ytterligere hjelp. Men tusen takk skal dere ha