matematikk.net

Kan man si dette om faktorisering?

Jeg har av og til litt problemer med å se hvordan jeg skal faktorisere.

Har man en annengradsligning, er det jo greit i og med at man kan regne seg frem til X ved annengradsligningsformelen og så benytte a(x-x1)(x-x2).

Litt verre er det når det er polynomer av høyere grad. Jeg leste i min mattebok at det ikke finnes noen universal regel for faktorisering av polynomer av høyere grad, kan dette virkelig stemme? Jeg lurer likevel på om det finnes en metode man kan benytte, som gjør at man kommer litt mer på vei?

Er den beste metoden feks å se om man finner et x-verdi som gjør at summen blir 0 ( nullpunt)?

La oss si at man skal faktorisere F(x)= x^3 – 6x^2 +9x +4.
Bør man da se etter et nullpunkt, eller har man da automatisk lov å derrivere funksjonen, for så å sette den inn i en annegradsligning og så finne x-verdiene?

Jeg driver å skrivet et ganske langt dokument om faktorisering av polynomer nå. Og det som er greit når vi har polynomer av høyere grad enn to er å bruke litt logikk og litt tenking.

http://www.2shared.com/document/sPGLqtZ ... kebok.html

Det som er veldig greit er å se at en odde funksjon med kunn reelle ledd. Ingen komplekse tall. Vil ha odde antall løsninger.
For eksempel kan en tredjegradsfunksjon enten ha en eller tre reele løsninger.

Så kan vi anta at løsningene er heltall. Da vil røttene være delelig på konstantleddet. Dette gjelder for alle polynomer.

[tex]x^3+4 x^2-7 x-10[/tex]

Konstantleddet er [tex]10[/tex]. Det betyr at mulige løsninger til funksjonen er
[tex]\pm 1 , \pm 2 , \pm 5 , \pm 10[/tex]

Prøver vi noen av disse verdiene ser vi at vi klarer å løse funksjonen.
Ofte er det lurt å bruke metoden over, for å finne ett nullpunkt. Så benytter vi oss at polynomdivisjon for å gjøre stykket vårt lettere.

Antar du har lært om det.

For høyere grad av polynomer er det gjerne flere knep som funker. La oss si at vi har polynomet

[tex]x^5 + x^3 + 8x^2 + 8[/tex]

Blir mye arbeid om ikke vi gjør omskrivningen under

[tex]x^3(x^2 + 1) + 8(x^2 + 1)[/tex]
[tex](x^2 + 1)(x^3 + 8)[/tex]

Nå er det lettere å faktorisere. Et annet nyttig knep er å lære seg pascals trekant. Eksempelvis

[tex]x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3[/tex]

[tex]x^6+3x^4+3x^2+1 = (x^3+1)^3[/tex]

Men ja erfaring er en god ting å ha. 1 se på konstantleddet, 2 poly.
Eller bare se løsningene