matematikk.net

Hei.

Sliter veldig med følgende oppgave:

Every rational [tex]x[/tex] can be written in the form [tex]x = \frac{m}{n}[/tex], where [tex]n > 0[/tex], and [tex]m[/tex] and [tex]n[/tex] are integers without any common divisors. When [tex]x=0[/tex], we take [tex]n = 1[/tex]. Consider the function defined on [tex]\mathbb{R}^{1}[/tex] by:

[tex]f(x) = 0[/tex] ([tex]x[/tex] irrational)

[tex]f(x) = \frac{1}{n} [/tex]([tex]x = \frac{m}{n}[/tex])

Prove that [tex]f[/tex] is continuous at every irrational point, and that [tex]f[/tex] has a simple discontinuity at every rational point.


Her sliter jeg veldig med å se hvordan jeg kan angripe problemet. Jeg regner med at det faktum at punktene hvor funksjonen ikke er 0 er tellbare er noe jeg kan bruke. Målet mitt er vel å bevise at det finnes en [tex]\epsilon > 0[/tex] slik at avstanden mellom et tall [tex]x[/tex] og [tex]p[/tex] (hvor [tex]p[/tex] er et irrasjonalt tall) blir mindre enn en verdi [tex]\delta[/tex] for slik å vise kontinuitet rundt irrasjonale tall. Men hvordan kan jeg finne en slik verdi for [tex]x[/tex]? (Her må jo [tex]x[/tex] være mindre enn [tex]\frac{1}{n}[/tex], og hvordan kan dette være mulig når [tex]n[/tex] går mot uendelig?)

Setter veldig stor pris på hjelp. Står veldig fast her.

Hint:

La x være et irrasjonalt tall. La [tex]\epsilon>0[/tex] og en [tex]n[/tex] slik at [tex]\frac{1}{n}<\epsilon[/tex]
I en omegn om x fins det kun et endelig antall rasjonale tall med nevner< [tex]n[/tex].

Takk for tipset.

Jeg ser jo hvor du vil basert på dette. Dersom det kun er endelig antall rasjonale tall med nevner < [tex]n[/tex] så kan man jo sette [tex]\delta[/tex] mindre enn den minste avstanden mellom det irrasjonale tallet x og nærmeste rasjonale tall. Da får man et nabolag rundt x, og dermed har vi vist kontinuitet.

Problemet er at jeg ikke helt intuitivt ser at dette kan stemme. Dersom [tex]n[/tex] kan gå mot uendelig, hvordan kan vi da konkludere med at det er et endelig antall rasjonale tall med nevner < [tex]n[/tex]?

Jeg ser altså logikken når man først har vist at antall rasjonale tall er endelig, og jeg kjenner også til det faktum at et sett bestående av et endelig sett elementer ikke har limit points - noe som også gjør at vi kan identifisere nabolag rundt de irrasjonale tallene. Det er altså dette med å vise at antallet rasjonale tall er endelig som jeg ikke helt ser logikken bak.

Vel, det er mer eller mindre trivielt. Nevneren er et heltall mellom 1 og n. Når vi øker/minker telleren vil vi på et eller annet tidspunkt overstige omegnen om det irrasjonelle tallet, altså fins det kun et endelig antall rasjonale tall i omegnen.

Takk igjen.

Jeg har nå kommet frem til en løsning hvor jeg ender opp med:

[tex]|f(x)| \leq \frac{1}{n} < \epsilon[/tex] basert på at jeg tar utgangspunkt i alle rasjonale tall hvor nevner < [tex]n[/tex]. Dette er jo på papiret en gyldig løsning, men hva med alle verdier hvor nevner > [tex]n[/tex]? Det er jo godt mulig at flere av disse verdiene faller inn under omegnen rundt det irrasjonale tallet. Og i følge den gitte funksjonen skal jo man da ikke få [tex]0[/tex], så jeg ser ikke hvordan kontinuiteten opprettholdes.

For å ta et litt enkelt eksempel:

Sett at vi setter [tex]\frac{1}{3} < \epsilon[/tex] og vi velger det irrasjonale tallet [tex]b = \sqrt{2}[/tex]. I omegnen [tex](\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1)[/tex] vil vi da kun ha følgende rasjonale tall med nevner > [tex]3[/tex] som faller innenfor intervallet:

[tex]\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2[/tex].

Vi kan da sette en [tex]\delta > 0 [/tex] slik at [tex](\sqrt{2} - \delta, \sqrt{2} + \delta)[/tex] gjør at ingen av disse rasjonale tallene faller innenfor intervallet. Ved å ta en verdi, [tex]x[/tex] innenfor intervallet får vi da:

[tex]|x - b| < \delta[/tex] som igjen gir:

[tex]|f(x) - f(b)| = |f(x)| \leq \frac{1}{3} < \epsilon[/tex].

Slik har jeg forstått er en måte å bevise at funksjonen er kontinuerlig rundt irrasjonale tall. Men vi ser jo her bort fra alle rasjonale tall hvor nevner > [tex]3[/tex]. Er det ikke mulig at det finnes rasjonale tall med nevner > [tex]3[/tex] som vil falle inn i intervallet jeg har valgt for [tex]\delta[/tex]? Og vil ikke dette da medføre brudd i kontinuiteten?

"Er det ikke mulig at det finnes rasjonale tall med nevner > 3 som vil falle inn i intervallet jeg har valgt?"

Jo, men det har ikke noe å si.

"Og vil ikke dette da medføre brudd i kontinuiteten?"

Nei, det går helt fint at det fins rasjonale tall med nevner større enn 3 innenfor omegnen, for da er fremdeles [tex]|f(x)|<\frac13<\epsilon[/tex]

Poenget er at vi alltid kan velge en mindre [tex]\epsilon>0[/tex] og en større n, men da må vi minke omegnen om det irrasjonale tallet. Likevel blir tankegangen den samme, og argumentet holder uansett hvor liten [tex]\epsilon[/tex] vi velger..

OK. Takk skal du ha. Nå tror jeg at jeg forstår dette bra