matematikk.net

Hei,

noen kloke hoder der ute som kan vise fremgangsmåte for å løse denne lille lekkerbisken?

lim ( e^x+x ) ^ (1/x)
x->0

tar ln til grensa:

[tex] \lim_{x\to 0}\,\ln(e^x + x)^{1/x}= \lim_{x\to 0}\,\frac{\ln(e^x+x)}{x}={0\over 0}\text \,uttrykk og bruker L^,Hopitals [/tex]

[tex]\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x+1}{e^x+x}= 2[/tex]
dvs

[tex]\lim_{x\to 0}\,(e^x + x)^{1/x}= e^2[/tex]

Hvorfor kunne du skrive ln foran uttrykket? Det skjønte jeg ikke :/ Ellers var resten veldig greit!

y = uttrykket ditt

ln y = ln uttrykket ditt

også ser vi på lim ln y

før vi opphøyer i e på slutten

Fordi du har et særdeles fint resultat som sier at dersom vi har f(g(x)) definert på et intervall som inneholder c, og hvis f er kontinuerlig i L, OG [tex]\lim_{x \to c} g(x) = L[/tex] så gjelder:
[tex]\lim_{x \to c} f(g(x)) = f(\lim_{x \to c} g(x))[/tex]. Det rettferdiggjør for hvorfor du kan ta funksjonen din f(x) og skrive:
[tex]\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} e^{ln(f(x))} = e^{\lim_{x \to c} ln(f(x))}[/tex].

Åja! Takker så mye for oppklaringene!