matematikk.net

Fikk en bevisoppgave på skolen som jeg ikke helt skjønner.. Den er som følgende:

Vi skal undersøke om tallet (4^(n)-1) er delelig med 3 når n er et naturlig tall.

a) Kontroller at (4^(n)-1) er delelig med 3 når n = 1, n = 2, n = 3 og n = 4.

b) Vis at (4^(n)-1) = (2^(n)-1)(2^(n)-1)

c) Forklar at (2^(n)-1), 2^(n) og (2^(n)+1) er tre hele tall som ligger etter hverandre på tallinjen. Forklar at ett av disse talene er delelig med 3. Hvilket av tallene kan ikke være delelig med 3?

d) Bruk b og c over til å bevise av (4^(n)-1) er delelig med 3 for alle naturlige tall n.

Greit om du sier litt hva du har prøvd, og hvor du står fast.

Dette er vel en R10H om jeg ikke husker feil? LF ligger uansett ute =)

Jeg skjønner rett og slett ikke hvordan man skal regne ut disse.. Jeg er sånn høvelig flink i bevis, vi er nettopp begynt med det i R1-matten på videregående.

LF ligger ute? ;p Hvor da?

Søk litt på forumet så finner du den nok, er flereute. En jeg skrev, og flere som forlagene skriver. Forlagene er gjenre ikke så nøye men pytt.

Femgangsmåten er rimelig lett. Alle bevisoppgavene i R1 blir løst på omtrent samme måte, nemmlig med induksjon.

1. Vi sjekker om det stemmer for n=1.

2. Vi antar at det stemmer for et tilfeldig tall k

3. Vi ser om vi kan vise at det stemmer for det tallet etter k nemmlig k+1.

Dersom vi har vist at det stemmer for k+1 dersom det stemmer for k er vi ferdige med beviset vårt.

Dette virker kanskje litt merkelig, men blir lettere om vi konkretiserer problemet.

La oss anta at du har vist at noe stemmer for n=1.

Fu har også vist at dersom det stemmer for et tilfeldig tall, så stemmer det for det neste tallet og.

Så spør jeg deg, men stemmer det for 5?

Vi vet at det stemmer for 5 dersom det stemmer for 4. Vi vet at det stemmer for 4, dersom det stemmer for 3. Vi vet at det stemmer for 3, om det stemmer for 2. Vi vet at det stemmer for 2 om det stemmer for 1.

Vi vet at det stemmer for 1, altså stemmer det også for 5.

Så dette er prinsippet. Prøv deg på oppgaven du, står svært nøyaktig hvordan du skal gå frem, eventuelt se et par videoer.

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=25638

http://www.youtube.com/watch?v=OO6vgKaF ... re=related

http://www.youtube.com/watch?v=wblW_M_HVQ8

Induksjon er ikke pensum i R1.
Du har fått hele fremgangsmåten oppgitt i oppgaven.

b) Omskriv [tex]4^n=(2^2)^n=2^{2n}=(2^n)^2[/tex]
Ser du faktoriseringen videre herfra (av [tex](2^n)^2-1[/tex])?

Dette svarer ikke på oppgaven, men jeg vil skyte inn at det antakelig søteste beviset for denne oppgaven er å skrive om [tex]4^n-1[/tex] til firetallssystemet.

[tex](4^n-1)_{10}=(10^n-1)_4=\overbrac{333...333}^{n}_4[/tex]