matematikk.net

Jeg har en oppgave i MAT1100 (kalkulus) som spør om lim x -> infinity for x^2*ln(1+1/x)-x. Her er den i wolfram alpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... 1%2Fx%29-x

Men... jeg synes utregningen virket vel komplisert og jeg er ikke helt med på alle stegene. Finnes det noen enklere måte å gjøre det på enn det WA skisserer? Føler meg noe fortapt.

Jeg vet ikke om dere har dekket Taylorutviklinger eller stor-O-notasjon, men hvis du Taylor-utvikler [tex]\ln(1+u)[/tex] om [tex]u=0[/tex] til andre orden får du [tex]\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2} + \mathcal{O}(u^3)[/tex], som i praksis betyr at [tex]\ln(1+u)\rightarrow u-\frac{u^2}{2}[/tex] når [tex]u\rightarrow 0[/tex].

Dermed kan vi konkludere at [tex]\ln(1+\frac1x)\rightarrow \frac1x - \frac{1}{2x^2}[/tex] når [tex]x\to\infty[/tex].

Da får vi

[tex]\lim_{x\to \infty} x^2\ln(1+\frac1x)-x = \lim_{x\to \infty} x^2(\frac1x - \frac{1}{2x^2}) - x = \lim_{x\to \infty} x - \frac12 - x = \lim_{x\to \infty} -\frac12 = -\frac12[/tex]

Takk for svar. Taylor-serier har vi vært igjennom, men stor-O tror jeg ikke står på pensum.

Hvis man løser det på måten med at man erstatter 1/x med en annen variabel, kan noen forklare meg hva som skjer? Dvs. hvorfor man kan sette grenseverdien fra x -> uendelig, til nyvariablel-> 0?

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=30138

For å finne ut hva den nye grensen er,så gjør man bare slik.

Du vet at u=1/x. Så ser vi at når x går ot uendelig ser vi at u går mot null.

Bruker [tex]u=\frac{1}{x}[/tex] i denne videoen. Kanskje den hjelper.

http://www.youtube.com/watch?v=nYACgm81_Ak