matematikk.net

Funksjonen F : R → R er definert ved
F (x) = [symbol:integral] f(t) dt
b= x
a = 0
c) Vis at F er en strengt voksende funksjon og at F (−x) = −F (x) for
alle x.

har funksjonen arctan x/x ulik 0 og 1 lik 0

noen som vet hvordan jeg skal gå frem?

Hva vet du om den deriverte når F er strengt voksende?

Når det gjelder F(-x) = -F(x), så må du nesten bare se på hva du får når du setter inn -x i funksjonen. Da får du: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt[/tex]. Kan du se en substitusjon her som gjør at du får samme integral som i [tex]F(x)[/tex]?

Du viser at F er strengt voksende ved å vise F' > 0.
Da lager du deg et fortegnskjema eller noe.

Vektormannen wrote:Hva vet du om den deriverte når F er strengt voksende?

Når det gjelder F(-x) = -F(x), så må du nesten bare se på hva du får når du setter inn -x i funksjonen. Da får du: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt[/tex]. Kan du se en substitusjon her som gjør at du får samme integral som i [tex]F(x)[/tex]?

Hva mener du?

Det vi ønsker å vise er at F(-x) = -F(x). Da må vi se om vi i uttrykket for F(-x) kan få igjen det samme integralet som er i F(x). Hvis vi lar [tex]u = -t[/tex] så får vi at [tex]du = -dt[/tex]. Nedre grense i integralet blir u = -0 = 0 og øvre grense blir u = -(-x) = x. Vi får altså: [tex]F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt = \int_0^x f(-u) (-du) = -\int_0^x f(-u) du[/tex]. Hva kan du/dere si om f(-u)? Hva blir i såfall integralet lik?

Det blir lik -F(x)? Eller må jeg sette inn -t for u?

Jeg redigerte posten min ovenfor rett før du postet. Jeg hadde skrevet f(u) i stedet for f(-u). Men hva er f(-u) lik?

Der ga det litt mer mening! Det blir lik -F(x)! Takk, nå forsto jeg dette litt bedre!

Kan jeg spørre om en ting til?

Hvordan skal man vise grenseverdien til F(x) når x går mot uendelig?

Kan jeg bare si at siden F(x) er strengt voksende må grenseverdien gå mot uendelig?

Det er nok ja! (Du må selvfølgelig også vise at den er strengt voksende hvis du ikke har det.)

Hvordan kan jeg vise at den samme funksjonen er konkav for intervallet [0,uendelig)?

Er vanskelig å prøve å gjennomføre regnestykket som skal bevise at den er konkav på dette intervallet... Siden arctan(x)/x er vanskelig å integrere...

Hvorfor har du lyst til å integrere da?

Hvis du vil vise at en funksjon er voksende så er det nok å vise at den deriverte er positiv. Husk at den deriverte gir stigningstallet til tangenten til funksjonen. Hvis tangenten hele tiden har positivt stigningstall må funksjonen være økende, ikke sant?

EDIT: Eller var det en ny oppgave å vise at den er konkav?

Hei! Sliter med samme oppgave.

Man skal vise at F er konkav på [0,[symbol:uendelig])

Hva vet du om den dobbeltderiverte dersom funksjonen er konkav?

Negativ dobbelderivet vender den hule side ned.

Så man må dobbeltderivere

[symbol:integral] (oppe: x, nede: 0) f(t)dt

?