Funkskjoner og deres løsninger

[Razzy]

Oppgaven:

a) Finn nullpunktene og eventuelle ekstremalverdier for funksjonen [tex]$$f\left( x \right) = {x^2} + {x^3}$$[/tex] og skisser grafen.

b) Ligningen [tex]$${x^2} + {x^3} = 1$$[/tex] har presis én løsning [tex]$${x_0}$$[/tex]. Forklar hvorfor [tex]$${x_0}$$[/tex] ligger mellom [tex]$${3 \over 4}{\rm{ og 1}}{\rm{.}}$$[/tex]

c) Beregn en tilnærmet verdi
[tex]$${x_t},{\rm{ for }}{x_0}$$[/tex] slik at feilen, [tex]$$\left| {\,{x_t} - {x_0}\,} \right| < {10^{ - 3}}.$$[/tex] (Tips: Regn ut [tex]$$f\left( {{x_t} + {{10}^{ - 3}}} \right){\rm{ og }}f\left( {{x_t} - {{10}^{ - 3}}} \right)$$[/tex])



Løsningsforslag:

Ikke laget enda, derfor vil jeg skissere tankene mine nedenfor (så må dere veldig gjerne slenge på kommentarer slik at jeg regner i riktig retning)

a)

Ganske grei oppgave; sett funksjonen = 0, finn topp- og bunnpunkt (drøft dette i et fortegnsskjema eller utfør dobbeltderiver testen)

Men er det noen randpunkt? Dette må sjekkes på en måte? Hvordan var det igjen.

b)

Forsøke å finne denne ene løsningen, da forstår jeg sikkert også hvorfor den kun har løsninger mellom [tex]$${3 \over 4}{\rm{ og 1}}{\rm{.}}$$[/tex].

Det må jo ha noe med at dette er det gyldige definisjonsområde for denne ligningen.

c)

Her er jeg blank, men det tyder jo på at denne deloppgaven bygger på deloppgave b.

[Razzy]

a)

[tex]$${\rm{f}}\left( x \right) = {x^2} + {x^3}$$[/tex]

[tex]$${\rm{f^\prime}}\left( x \right) = 2x + 3{x^2}$$[/tex]

[tex]$${\rm{f^\prime}}\left( x \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$3{x^2} + 2x = 0$$[/tex]

[tex]$$x\left( {3x + 2} \right) = 0$$[/tex]

[tex]$$x = 0\; \wedge \;3x + 2 = 0 \Rightarrow x = - {2 \over 3}$$[/tex]

Punktene er drøftet i et fortegnsskjema alternativt kunne vi også kjørt dobbeltderiver-testen.

[tex]$${\rm{f}}\left( 0 \right) = {0^2} + {0^3} = 0$$[/tex]

[tex]$${\rm{f}}\left( { - {2 \over 3}} \right) = {\left( { - {2 \over 3}} \right)^2} + {\left( { - {2 \over 3}} \right)^3} = {4 \over {27}}$$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {T.P = \left( { - {2 \over 3},{4 \over {27}}} \right)}} $$[/tex]

[tex]$$\underline{\underline {B.P = \left( {0,0} \right)}} $$[/tex]


Skisse fra GeoGebra


Kommentar: Det ser ikke ut som det er noe terrassepunkt eller andre punkt går under ekstremalverdier.

[Nebuchadnezzar]

1. Ingen randpunkt, da funksjonen er definert på hele [tex]\mathbb{R}[/tex].

2. Bruk skjæringssetningen, eller sekantsetningen.

Den sier at dersom du har en kontinuerlig funksjon slik at
[tex]f(a)<b<f(c)[/tex] så vet vi at f må ha verdien [tex]b[/tex], ett eller annet sted mellom [tex]a[/tex] og [tex]c[/tex]. Dette kan brukes på [tex]0[/tex].

For eksempel la oss anta at du ser at [tex]f(-1)=-4[/tex] millioner, og [tex]f(2)=1337[/tex] da må funksjonen din krysse 0 for å komme fra [tex]-1[/tex] til [tex]2[/tex]. Da vi antar funksjonen er kontinuerlig.

3. Newtons metode kan vel sikkert brukes her, står mer om på wiki.

[Razzy]

1. Ingen randpunkt, da funksjonen er definert på hele [tex]\mathbb{R}[/tex].

2. Bruk skjæringssetningen, eller sekantsetningen.

Den sier at dersom du har en kontinuerlig funksjon slik at
[tex]f(a)<b<f(c)[/tex] så vet vi at f må ha verdien [tex]b[/tex], ett eller annet sted mellom [tex]a[/tex] og [tex]c[/tex]. Dette kan brukes på [tex]0[/tex].

For eksempel la oss anta at du ser at [tex]f(-1)=-4[/tex] millioner, og [tex]f(2)=1337[/tex] da må funksjonen din krysse 0 for å komme fra [tex]-1[/tex] til [tex]2[/tex]. Da vi antar funksjonen er kontinuerlig.

3. Newtons metode kan vel sikkert brukes her, står mer om på wiki.

3. Denne har jeg i boken og skal legge ut straks, jeg legger imidlertid ut et forslag på b, med utgangspunkt i det du sa og læreboken min. Holder denne konklusjonen?

forslag - b)

vi starter med å tegne funksjonen


Definerer funksjonen [symbol:funksjon]: [tex]$${\rm{f}}\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 1$$[/tex] der [tex]$$x \in R$$[/tex]

Vi undersøker verdiene:

[tex]$${\rm{f}}\left( {{3 \over 4}} \right) = - {1 \over {64}} \approx - 0.015625$$[/tex]

[tex]$${\rm{f}}\left( 1 \right) = 1$$[/tex]

Skjæringssetningen sier at dersom man har en kontinuerlig funksjon definert på intervallet [tex]$$\left[ {a,b} \right]$$[/tex] slik at [tex]f(a)<b<f(c)[/tex], og [tex]$${\rm{f}}\left( a \right)\;og\;{\rm{f}}\left( b \right)$$[/tex] har forskjellige fortegn, så vet vi at f må ha verdien [tex]b[/tex], ett eller annet sted mellom [tex]a[/tex] og [tex]c[/tex] og dermed også krysse null.

[Razzy]

forslag - c)

opprinnelige oppgave b) Ligningen [tex]$${x^2} + {x^3} = 1$$[/tex] har presis én løsning [tex]$${x_0}$$[/tex]. Forklar hvorfor [tex]$${x_0}$$[/tex] ligger mellom [tex]$${3 \over 4}{\rm{ og 1}}{\rm{.}}$$[/tex]

Å regne ut en tilnærmet verdi er ikke noe problem. Men jeg skjønner ikke noe av tipset eller "feilen" som blir nevnt her?


Vi danner [tex]$${\rm{f}}\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - 1$$[/tex] som gir [tex]$${\rm{f^\prime}}\left( x \right) = 3{x^2} + 2x$$[/tex].

Vi velger også [tex]$${x_0} = 1$$[/tex] som startverdi.

Newtons metode gir derfor:

[tex]$$n = 0:\;\;\;\;{x_1} = 1 - {{{\rm{f}}\left( 1 \right)} \over {{\rm{f^\prime}}\left( x \right)}} = 1 - {{{{\left( 1 \right)}^3} + {{\left( 1 \right)}^2} - 1} \over {3{{\left( 1 \right)}^2} + 2\left( 1 \right)}} \approx 0.756818$$[/tex]

[tex]$$n = 1:\;\;\;\;{x_2} = 0.756818 - {{{{\left( {0.756818} \right)}^3} + {{\left( {0.756818} \right)}^2} - 1} \over {3{{\left( {0.756818} \right)}^2} + 2\left( {0.756818} \right)}} \approx 0.754881$$[/tex]

[tex]$$n = 3:\;\;\;\;{x_3} = 0.754881 - {{{{\left( {0.754881} \right)}^3} + {{\left( {0.754881} \right)}^2} - 1} \over {3{{\left( {0.754881} \right)}^2} + 2\left( {0.754881} \right)}} \approx 0.754877$$[/tex]

Den siste verdien er veldig lik det Wolfram gir meg:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... olve+for+x

[mstud]

b) Alternativ løsning

For å finne [tex]x_0[/tex]: Finn skjæringspunktet mellom [tex]f(x)=x^2+x^3[/tex] og linjen y=1...

x ligger mellom [tex]x=\frac 34[/tex] og x=1...

f(x)=x^2+x^3 gir: [tex]f(\frac 34 )=(\frac 34 )^2 + (\frac 34 )^3 = \frac {63}{64}[/tex] som er slightly mindre enn [tex]\frac {64}{64}=1[/tex]

og [tex]f(1)=1^2+1^3=1+1=2 \ >1[/tex] Viser ikke dette at f(x)=1 for en eller annen x-verdi i området: [tex]\frac 34 < x <1[/tex]

Men hvorfor gjøre det enkelt når det kan gjøres vanskelig

c)

[tex]x_0[/tex] kan finnes grafisk...

Beregn en tilnærmet verdi
[tex]$${x_t},{\rm{ for }}{x_0}$$[/tex] slik at feilen,[tex]$$\left| {\,{x_t} - {x_0}\,} \right| < {10^{ - 3}}.$$[/tex] (Tips: Regn ut [tex]$$f\left( {{x_t} + {{10}^{ - 3}}} \right){\rm{ og }}f\left( {{x_t} - {{10}^{ - 3}}} \right)$$[/tex])

[tex]$$\left| {\,{x_t} - {x_0}\,} \right| < {10^{ - 3}}$$[/tex] gir:

[tex]0 \leq x_t - x_0 < 10^{-3}[/tex] eller [tex] 0 \geq x_t -x_0 > -10^{-3}[/tex]
Som kan slås sammen til: [tex]-10^{-3}< x_t - x_0 < 10^{-3}[/tex].
Ikke helt sikker på om dette funker da...