matematikk.net

Oppgave:

En mur [tex]$$3.0\,{\rm{m}}$$[/tex] høy er plassert [tex]$$10.0\,{\rm{m}}$$[/tex] foran en husvegg. Vi skal lage en gangbro fra bakken utenfor muren opp til husveggen. Broen skal hvile på muren. Se figur under. Finn den minste lengden broen må ha.





Løsningsforslag:

Dette må være en "anvendelse av derivasjonsoppgave"

Skal forsøke å sette opp et uttrykk/funksjon som beskriver oppgaven, herunder tenker jeg feks en vinkel alfa som vil variere. Jeg skal så finne minumum av denne funksjonen.

har du fasit

er den minste lengden til broa lik ca 17,4 m.

Janhaa wrote:har du fasit

er den minste lengden til broa lik ca 17,4 m.

Nei dessverre, dette er en oppgave vi har fått utdelt. Men hvis du sier det er 17.4 m, vil dette fungere som en fasit for meg!

Kunne du sagt noe om fremgangsmåten din? (trenger ikke en hel stil, bare i grove trekk)

Du har hvertfall et uttrykk som du har derivert? Og dette uttrykket var avhengig av vinkelen mellom bakken og broa og den faste høyden på 3 meter?

Det blir noe pytagoras greier her også antar jeg.

Janhaa!

1)
se på tegninga di og bruk sammenheng mellom 2 formlike trekanter
(kaller x = høyde husvegg og y = avstand mellom husvegg og bru, horisontalt)

2)
får en funksjon y = y(x) = ...

3)
s = lengde gangbru
da er:
[tex]s^2= x^2+y^2(x)[/tex]

4)
deriver s(x) og sett lik null, dvs
s'(x) = 0
Holder med å studere diskriminanten (ser du hvorfor?)

Janhaa wrote:1)
se på tegninga di og bruk sammenheng mellom 2 formlike trekanter
(kaller x = høyde husvegg og y = avstand mellom husvegg og bru, horisontalt)

2)
får en funksjon y = y(x) = ...

3)
s = lengde gangbru
da er:
[tex]s^2= x^2+y^2(x)[/tex]

4)
deriver s(x) og sett lik null, dvs
s'(x) = 0
Holder med å studere diskriminanten (ser du hvorfor?)

Jeg må begynne et sted:



Formlikhet gir meg:

[tex]$${y \over x} = {{y - 10} \over 3} \Rightarrow y = y\left( x \right) = {{\left( {y - 10} \right)x} \over 3}$$[/tex]

Pytagoras gir meg:

[tex]$${s^2} = {x^2} + {y^2}\left( x \right)$$[/tex]

[tex]$$s = \sqrt {{x^2} + {{\left( {{{\left( {y - 10} \right)x} \over 3}} \right)}^2}} $$[/tex]

Hvis det jeg har gjort er feil til nå, ville jeg ikke anbefalt å sett på derivasjonen nedenfor (gikk fort og er litt trøtt) - vet jeg skal få det til bare jeg vet at jeg deriverer riktig uttrykk!

[tex]$$s^\prime = {{{{\left( {y - 10} \right)2x} \over 9}} \over {2\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 10} \right){x^2}} \over 9}} }} = {{\left( {y - 10} \right)2x} \over {18\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 10} \right){x^2}} \over 9}} }}$$[/tex]

Under rottegnene skal brøken være: [tex]$${{{\left( {y - 10} \right){x^2}} \over 9}}$$[/tex]

[tex]$$s^\prime = 0$$[/tex]

Drøfte den deriverte; HVIS jeg har gjort alle de forskjellige leddene ovenfor riktig. Hva er sannsynligheten for det, hehe

Problemet her er at du har et uttrykk som avhenger av både x og y. Du kan bruke formlikheten til å eliminere en av variablene! Enklest er det å "bli kvitt" x. Du har jo at [tex]x = \frac{3y}{y-10}[/tex], ikke sant? Så det gir deg at [tex]s^2 = x^2 + y^2 = \left(\frac{3y}{y-10}\right)^2 + y^2[/tex]. Nå har du en funksjon som gir deg lengden av broen, kun uttrykt ved avstanden y langs bakken. Er resten greit da?

Vektormannen wrote:Problemet her er at du har et uttrykk som avhenger av både x og y. Du kan bruke formlikheten til å eliminere en av variablene! Enklest er det å "bli kvitt" x. Du har jo at [tex]x = \frac{3y}{y-10}[/tex], ikke sant? Så det gir deg at [tex]s^2 = x^2 + y^2 = \left(\frac{3y}{y-10}\right)^2 + y^2[/tex]. Nå har du en funksjon som gir deg lengden av broen, kun uttrykt ved avstanden y langs bakken. Er resten greit da?

Kjempeflott, det var jo ikke så hakkanes gale det jeg skrev da!

[tex]$${s^2} = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$s = \sqrt {{{\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)}^2} + {y^2}} $$[/tex]

Vil påpeke før jeg begynner å derivere, at jeg ikke trenger å bruke implisitt derivasjon, fordi jeg kun har en variabel. Vi betrakter y som det skulle stått x.

[tex]$$u = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 2\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right) \cdot \left( { - {{180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right) + 2y$$[/tex]

[tex]$$s^\prime = \sqrt u \Rightarrow {1 \over {2\sqrt u }} \cdot u^\prime$$[/tex]

[tex]$$s^\prime = \frac{1}{2\sqrt{\left ( \frac{3y}{y-10} \right )^{2}+y^{2}}} \cdot 2\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right) \cdot \left( { - {{180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right) + 2y$$[/tex]


Det er ikke ofte jeg henger fast lengre, men tror jeg gjør det nå. Aner at kjernen jeg har valgt har enda flere kjerner? Jeg tok bare med en....

Ifølge Wolfram er den deriverte

[tex]s^\prime = \frac{9\left ( \frac{2x}{\left ( x-10 \right )^{2}} \right -\frac{21x^2}{\left ( x-10 \right )^3})+2x}{2\sqrt{\frac{9x^2}{\left ( x-10 \right )^2}+x^2}}[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sq ... %282%29%5D (kopier hele linken)

Også skal jeg sette hele denne = 0??!

Aner en eller annen forkorting i begynnelsen jeg ikke har fått med meg!

trenger kun å se på tellern da

Razzy wrote:Ifølge Wolfram er den deriverte

[tex]s^\prime = \frac{9\left ( \frac{2x}{\left ( x-10 \right )^{2}} \right -\frac{21x^2}{\left ( x-10 \right )^3})+2x}{2\sqrt{\frac{9x^2}{\left ( x-10 \right )^2}+x^2}}[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Sq ... %282%29%5D (kopier hele linken)

Også skal jeg sette hele denne = 0??!

Aner en eller annen forkorting i begynnelsen jeg ikke har fått med meg!

Har du skrevet Wolfram feil av? Når jeg fulgte linken din, er ikke den deriverte Wolfram oppgir nøyaktig lik det du sier Wolfram sa...

Det skal være: [tex]s^\prime = \frac{9\left ( \frac{2x}{\left ( x-10 \right )^{2}} -\frac{21x^2}{\left ( x-10 \right )^3} \right)+2x}{2\sqrt{\frac{9x^2}{\left ( x-10 \right )^2}+x^2}}[/tex]


Siden [tex]\frac 0{noe}=0[/tex] (så sant ikke noe=0, da er den udefinert), kan du bare sette:

[tex]9\left ( \frac{2x}{\left ( x-10 \right )^{2}} -\frac{21x^2}{\left ( x-10 \right )^3} \right)+2x=0[/tex] slik Nebuchadnezzar, og Janhaa, allerede har fortalt deg, tredje gangen er markandes... gikk det inn nå?

Skal sjekke deriveringen din i forhold til Wolframs...

EDIT, fiksa oppp litt

Razzy wrote:...

[tex]$${s^2} = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$s = \sqrt {{{\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)}^2} + {y^2}} $$[/tex]

Vil påpeke før jeg begynner å derivere, at jeg ikke trenger å bruke implisitt derivasjon, fordi jeg kun har en variabel. Vi betrakter y som det skulle stått x.

[tex]$$u = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 2\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right) \cdot \left( { - {{180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right) + 2y$$[/tex]

Her er jeg ikke helt enig i derivasjonen din:

[tex]u=\left( \frac {3y}{y-10} \right) ^2 + y^2[/tex] gir:

[tex]u^\prime = 2\left( \frac{3y}{y-10} \right) \cdot \left( \frac {3 \cdot (y-10) - 1 \cdot 3y}{(y-10)^2} \right) + 2y= 2\left( \frac{3y}{y-10} \right) \cdot \left( \frac {-30}{(y-10)^2} \right) + 2y[/tex]

Razzy wrote:[tex]$$s^\prime = \sqrt u \Rightarrow {1 \over {2\sqrt u }} \cdot u^\prime$$[/tex]

[tex]$$s^\prime = \frac{1}{2\sqrt{\left ( \frac{3y}{y-10} \right )^{2}+y^{2}}} \cdot 2\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right) \cdot \left( { - {{180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right) + 2y$$[/tex]

Det er ikke ofte jeg henger fast lengre, men tror jeg gjør det nå. Aner at kjernen jeg har valgt har enda flere kjerner? Jeg tok bare med en....

Øverste linjen her er riktig tenkt, og samme kjerne velger faktisk Wolfram også, ser jeg... Kontrollerer egentlig mot mitt eget hode, men det er jo greit å være flere som er enige

[tex]s^\prime = \frac 1{2 \sqrt{ \left( \frac {3y}{y-10} \right)^2 +y^2}} \cdot 2 \left( \left( \frac {3y}{y-10} \right) \cdot \left( \frac{-30}{(y-10)^2} \right) +y \right)[/tex] Dvs.

[tex]s^\prime = \frac {\not{2} \left( \left( \frac {3y}{y-10} \right) \cdot \left( \frac{-30}{{y-10}^2} \right) +y \right)}{\not{2} \sqrt{ \left( \frac {3y}{y-10} \right)^2 +y^2}} = \frac { \left( \frac {3y \cdot (-30)}{(y-10)^3} \right) +y }{ \sqrt{ \left( \frac {3y}{y-10} \right)^2 +y^2}}= \frac { \left( \frac {-90y}{(y-10)^3} \right) +y }{ \sqrt{ \left( \frac {3y}{y-10} \right)^2 +y^2}} =...[/tex] Kan dette stemme?

Razzy wrote:...

[tex]$${s^2} = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$s = \sqrt {{{\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)}^2} + {y^2}} $$[/tex]

Vil påpeke før jeg begynner å derivere, at jeg ikke trenger å bruke implisitt derivasjon, fordi jeg kun har en variabel. Vi betrakter y som det skulle stått x.

[tex]$$u = {\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right)^2} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 2\left( {{{3y} \over {y - 10}}} \right) \cdot \left( { - {{180y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right) + 2y$$[/tex]

Her er jeg ikke helt enig i derivasjonen din:

[tex]u=\left( \frac {3y}{y-10} \right) ^2 + y^2[/tex] gir ...

Det er mulig det ville være enklere å derivere uttrykket u, hvis man først skrev det som:
[tex]u=\left( \frac {9y^2}{(y-10)^2} \right) + y^2[/tex]

Hva tror du om det?

Razzy wrote:[tex]$$s^\prime = \sqrt u \Rightarrow {1 \over {2\sqrt u }} \cdot u^\prime$$[/tex]

[tex]$$s = \sqrt {{{9{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} + {y^2}} $$[/tex]

[tex]$$u = {{9{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 9\left( {{1 \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} \cdot {y^2}} \right) + {y^2}$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 9\left( {{{\left( {{1 \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}}} \right)}^\prime } \cdot {y^2} + {1 \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} \cdot {{\left( {{y^2}} \right)}^\prime }} \right) + {\left( {{y^2}} \right)^\prime }$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 9\left( { - {2 \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}} \cdot {y^2} + {1 \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} \cdot 2y} \right) + 2y$$[/tex]

[tex]$$u^\prime = 9\left( {{{2y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{2{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y$$[/tex]



Fasiten sier:

[tex]$$u^\prime = 9\left( {{{2y} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^2}}} - {{21{y^2}} \over {{{\left( {y - 10} \right)}^3}}}} \right) + 2y$$[/tex]

Har sjekket med Wolfram, og føler Wolfram gjør feil på slutten av oppgaven!

Hvordan i huleste dukker 21 opp i teller??

Ser riktig ut det dere har gjort, kladda litt på siden her. Fasiten tar feil, antakeligvis så skal det stå 2 og ikke 21 der. Litten trykkleif mtp1

Ser ut som

[tex]L = \sqrt{109+3\cdot90^{2/3}+30\cdot 90^{1/3} }[/tex]

når [tex]y = \sqrt[3]{90} + 10[/tex]