matematikk.net

Vi har en regel som sier følgende:

[tex]$$\int {\ln \left| x \right|\;dx\; = \;x \cdot \ln \left| x \right| - x + C} $$[/tex]

Kan jeg bruke den direkte på mitt uttrykk?

[tex]$$\int {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

Og få:

[tex]$$\left( {1 + x + {x^2}} \right) \cdot \ln \left| {1 + x + {x^2}} \right| - \left( {1 + x + {x^2}} \right) + C$$[/tex] ?

Hvis dette er tilfellet, får jeg hvertfall ikke riktig svar...

Oppgaven:

[tex]$$\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

Bruk delvis du

Dette er jo samme integral som du har i en av de andre trådene dine, og der fikk du oppgitt en antiderivert til funksjonen. Det er nok garantert meningen at du skal benytte deg av nettopp den for å finne verdien av det bestemte integralet.

Vektormannen wrote:Dette er jo samme integral som du har i en av de andre trådene dine, og der fikk du oppgitt en antiderivert til funksjonen. Det er nok garantert meningen at du skal benytte deg av nettopp den for å finne verdien av det bestemte integralet.

Ja riktig, og derfor slippe å regne dette ut?

Det tror jeg du har rett i - det var jeg som tolket det litt feil (og ville være super flink å vise)

Nebuchadnezzar vi får spare dette til senere!
PS. Nå må du legge deg så jeg ikke får deg for seint på skolen igjen, hehe

Skriver mekanisk fysikk innlevering i latex.

Der har vi stygge integral der :p

Razzy wrote: Ja riktig, og derfor slippe å regne dette ut?

Ja, akkurat, du bare setter inn i den antideriverte i stedet, slik du sikkert har gjort mange ganger før.

Nebuchadnezzar wrote:Skriver mekanisk fysikk innlevering i latex.

Der har vi stygge integral der :p

Oi, når du sier stygge integral, DA er de stygge da
Tips til føring av lange innleveringer: MathType


Løsningsforslag:

[tex]$$\int {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} = \left( {x + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right) - 2x + \sqrt 3 \,\arctan {{2x + 1} \over {\sqrt 3 }} + C$$[/tex]

[tex]$$I = \int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right)\,{\rm{d}}x} $$[/tex]

[tex]$$I = \left[ {\left( {x + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + x + {x^2}} \right) - 2x + \sqrt 3 \,\arctan {{2x + 1} \over {\sqrt 3 }}} \right]_0^1$$[/tex]

[tex]$$I = \left( {1 + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + 1 + {1^2}} \right) - 2 \cdot 1 + \sqrt 3 \,\arctan {{2 \cdot 1 + 1} \over {\sqrt 3 }} - \left( {\left( {0 + {1 \over 2}} \right)\,\ln \left( {1 + 0 + {0^2}} \right) - 2 \cdot 0 + \sqrt 3 \,\arctan {{2 \cdot 0 + 1} \over {\sqrt 3 }}} \right)$$[/tex]

[tex]$$I = {3 \over 2}\ln \left( 3 \right) - 2 + \sqrt 3 \,\arctan {3 \over {\sqrt 3 }} - \left( {{1 \over 2}\,\ln \left( 1 \right) + \sqrt 3 \,\arctan {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)$$[/tex]

[tex]$$I = {3 \over 2}\ln \left( 3 \right) - 2 + \sqrt 3 \,\arctan \sqrt 3 - \sqrt 3 \,\arctan {1 \over {\sqrt 3 }}$$[/tex]

[tex]$$I = {3 \over 2}\ln \left( 3 \right) - 2 + {{\sqrt 3 } \over 3}\pi - {{\sqrt 3 } \over 6}\pi $$[/tex]

[tex]$$I = {9 \over 6}\ln \left( 3 \right) - 12 + {{2\sqrt 3 } \over 6}\pi - {{\sqrt 3 } \over 6}\pi $$[/tex]

[tex]$$I = {{9\ln \left( 3 \right) - 12 + 2\sqrt 3 \;\pi - \sqrt 3 \;\pi } \over 6}$$[/tex]

[tex]$$I = {{9\ln \left( 3 \right) + \sqrt 3 \;\pi - 12} \over 6} \approx \underline {0.554818} $$[/tex]

(fikk det ikke så mye penerer)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... rom+0+to+1


Som en del av konklusjonen:

[tex]$$\underline {A \approx 0.495931} $$[/tex]


(siste linja funka ikke i latex!)

Blir penere uten mathtype, just saying

http://www.viewdocsonline.com/document/onn0jm

Skal se over det integralet når jeg kommer hjem. Videre så blir siste linja di

[tex]\Delta \percent \, = \, \frac{A - I}{A} \cdot 100 \percent \, = \, \frac{\left( 0.554818 - 0.495931 \right) }{0.554818} \cdot 100 \percent \, \approx \, 10.614 \percent[/tex]

^^

Del opp brøken din så ser det litt penere ut

[tex]\frac{\pi}{6}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\ln(3) - 2[/tex]