matematikk.net

Hei.

Det er et bevis i Rudins bok som jeg forstår nesten alt av. Men det er en liten del av beviset jeg ikke helt forstår. Beviset frem til dette punktet er som følger:

Theorem. Suppose [tex]\{f_n\}[/tex] is a sequence of functions, differentiable on [tex][a,b][/tex], and such that [tex]\{f_{n}(x_0)\}[/tex] converges for some point [tex]x_0[/tex] on [tex][a,b][/tex]. If [tex]\{f_{n}^\prime\}[/tex] converges uniformly on [tex][a,b][/tex], then [tex]\{f_n\}[/tex] converges uniformly on [tex][a,b][/tex], to a function [tex]f[/tex], and

[tex]f^\prime(x) = \lim_{n \to \infty}f_{n}^\prime(x)[/tex] where [tex](a \leq x \leq b)[/tex].

PROOF

Let [tex]\epsilon > 0[/tex] be given. Choose [tex]N[/tex] such that [tex]n \geq N[/tex], [tex]m \geq N[/tex], implies

[tex]|f_{n}(x_0) - f_{m}(x_0)| < \frac{\epsilon}{2}[/tex]

and

[tex]|f_{n}^\prime(t) - f_{m}^\prime(t)| < \frac{\epsilon}{2(b-a)}[/tex]

where [tex](a \leq t \leq b)[/tex].

If we apply the mean value theorem to the function [tex]f_n \to f_m[/tex] the last inequality shows that

[tex]|f_n(x) - f_m(x) - f_n(t) + f_m(t)| \leq \frac{|x-t|\epsilon}{2(b-a)} \leq \frac{\epsilon}{2}[/tex]

for any [tex]x[/tex] and [tex]t[/tex] on [tex][a,b][/tex], if [tex]n \geq N[/tex], [tex]m \geq N[/tex]

Det jeg ikke forstår her er hvordan man i denne siste ulikheten setter [tex]\leq \frac{|x-t|\epsilon}{2(b-a)}[/tex] og ikke [tex]< \frac{|x-t|\epsilon}{2(b-a)}[/tex].

Altså - hvor blir det plutselig mindre enn eller lik, og ikke bare mindre enn?

Resten av beviset som følger dette tror jeg at jeg har forstått helt fint. Men setter stor pris på om noen kan forklare det jeg lurer på her.

Tips: Hva skjer når x=t?

Når x = t, får vi vel at den siste ulikheten blir lik 0. Og siden vi her snakker om en absoluttverdi kan ikke dette bli negativt. Altså har vi da likhet. Har jeg forstått det rett?

Når x=t må man bruke [tex]\leq[/tex] og ikke <, ellers ville vi fått det absurde 0<0

Takk skal du ha