matematikk.net

Gitt rekken:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}x}[/tex]

For hvilke verdier for [tex]x[/tex] konvergerer rekken absolutt?


Her mener jeg at dersom [tex]-\frac{1}{n} \leq x \leq \frac{1}{n}[/tex] så vil ikke rekken konvergere ettersom vi ved innsetting av verdier i dette intervallet vil få en rekke som divergerer. Setter vi f.eks. [tex]x = \frac{1}{n}[/tex] så får vi jo:

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n}[/tex]

Og denne divergerer etter grenseverditesten. Likeså vil et hvert tall i dette intervallet gi en divergerende rekke.

I et løsningsforslag jeg har sett av denne oppgaven hevdes det imidlertid at de eneste verdiene for [tex]x[/tex] som ikke gir absolutt konvergens er [tex]x = 0[/tex] og [tex]x = -\frac{1}{n^{2}}[/tex]. Jeg ser jo selvsagt at innsetting av [tex]x=0[/tex] gir en rekke som divergerer, og innsetting av [tex]x =- \frac{1}{n^2}[/tex] gir [tex]0[/tex] i nevner, og derfor ikke er gyldig. Men betyr dette altså at resonneringen min er feil? Mener bestemt at alle verdier i intervallet jeg har definert vil medføre at rekken ikke konvergerer absolutt.

Fint om noen kan bekrefte/avkrefte dette.

Jeg tror nok du misforstår litt her, ja. Slik jeg oppfatter det, skal man finne de konstantene x som gir konvergens. Integralkriteriet gir jo da at de aller fleste x gir konvergens. Det er bare spesielle valg som x=0 og x-ene som gir null i nevner som gir divergens.

Men setter vi [tex]x= \frac{1}{n}[/tex] så får vi vel en rekke som divergerer? I så fall, hvorfor ikke?

Ser som sagt ikke hvordan det kun er når [tex]x = 0[/tex] eller [tex]x = -\frac{1}{n^2}[/tex] at vi har divergens.

Du kan ikke sette [tex]x=f(n)[/tex] fordi [tex]n[/tex] er en løpevariabel. Er det ikke meningen å finne konstanter [tex]x[/tex] slik at rekken konvergerer? I så fall vil jo ikke [tex]x[/tex] være en konstant hvis den avhenger av [tex]n[/tex].

espen180 wrote:Du kan ikke sette [tex]x=f(n)[/tex] fordi [tex]n[/tex] er en løpevariabel. Er det ikke meningen å finne konstanter [tex]x[/tex] slik at rekken konvergerer? I så fall vil jo ikke [tex]x[/tex] være en konstant hvis den avhenger av [tex]n[/tex].

Espen - godt poeng. Men i løsningsforslaget jeg har sett, så setter man jo opp som en mulighet at [tex]x = -\frac{1}{n^2}[/tex].

I så fall har jeg feiltolket oppgaven.

Nå skal det også sies at dette ikke er hentet fra et "offisielt" løsningforslag. Så kan ikke garantere at det stemmer. Men av og til hvis jeg virkelig lurer på en oppgave så ser jeg hvordan andre har tenkt, og dette var eneste løsningsforslaget jeg klarte å finne på nettet. Dog - som sagt, ikke kvalitetssikret.

Her er ihvertfall mitt syn på oppgaven, for hva det er verdt.

Ved rottesten har vi for [tex]x\neq 0[/tex] at

[tex]\lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{1}{1+n^2x}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\sqrt{x}}=0[/tex]

Men merk at hvis [tex]x=\frac{-1}{n_0^2}[/tex] for én bestemt [tex]n_0=1,2,...[/tex], så vil dette leddet være lik [tex]\frac{1}{0}[/tex] og rekken divergerer. Altså konvergerer rekken for alle [tex]x\neq\frac{-1}{n_0^2}[/tex] der [tex]n=1,2,...[/tex]

Som det sies vil rekka divergere dersom [tex]x=0[/tex] eller [tex]x=-\frac{1}{k^2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}\setminus \{0\}[/tex], så fasiten er litt unøyaktig der.

For å vise at rekka konvergerer for andre x-verdier ville jeg brukt sammenligningstesten mot en kjent konvergent overharmonisk rekke.

Takk for svar.

Jeg ser imidlertid fortsatt ikke hvorfor vi har lov til å sette [tex]x = - \frac{1}{n^2}[/tex] men ikke f.eks. [tex]x = \frac{1}{n}[/tex]. Så vidt jeg ser vil begge disse rekkene divergere.

krje1980 wrote:Takk for svar.

Jeg ser imidlertid fortsatt ikke hvorfor vi har lov til å sette [tex]x = - \frac{1}{n^2}[/tex] men ikke f.eks. [tex]x = \frac{1}{n}[/tex]. Så vidt jeg ser vil begge disse rekkene divergere.

For det første er det uheldig å bruke samme bokstav (n) som i løpevariabelen i summen. Hvis [tex]x=\frac{1}{k}[/tex] for et heltall [tex]k[/tex] får vi altså summen

[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{1+\frac{n^2}{k}}=k\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{k+n^2}[/tex].

Det er opplagt at denne konvergerer (sålenge [tex]k\neq -m^2[/tex] for heltall m). F.eks. hvis k=2 får vi at

[tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2+n^2}<\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}[/tex], og rekka til høyre vet vi konvergerer, så da følger konvergens ved sammenligningstesten.

OK. Tror jeg forstår dette nå. Dersom vi setter f.eks. [tex]x = \frac{1}{k}[/tex] så vil det jo være slik at selv om det i summeringen av rekken vil dukke opp et ledd hvor [tex]n = k[/tex] (vil vel skje før eller senere ettersom [tex]n[/tex] går fra 1 til uendelig) så konvergerer likevel rekken totalt sett ettersom [tex]k[/tex] holdes konstant mens [tex]n[/tex] jo er en løpevariabel. Stemmer ikke dette?

krje1980 wrote:OK. Tror jeg forstår dette nå. Dersom vi setter f.eks. [tex]x = \frac{1}{k}[/tex] så vil det jo være slik at selv om det i summeringen av rekken vil dukke opp et ledd hvor [tex]n = k[/tex] (vil vel skje før eller senere ettersom [tex]n[/tex] går fra 1 til uendelig) så konvergerer likevel rekken totalt sett ettersom [tex]k[/tex] holdes konstant mens [tex]n[/tex] jo er en løpevariabel. Stemmer ikke dette?

Ja, helt riktig. n er jo en variabel, så du kan ikke sette x til å variere fra ledd til ledd i summen slik du gjør når du setter [tex]x=\frac{1}{n}[/tex].

Flott! Tusen takk til dere alle for hjelpen

espen180 wrote:Her er ihvertfall mitt syn på oppgaven, for hva det er verdt.

Ved rottesten har vi for [tex]x\neq 0[/tex] at

[tex]\lim_{n\to \infty}\sqrt{\frac{1}{1+n^2x}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n\sqrt{x}}=0[/tex]

Men merk at hvis [tex]x=\frac{-1}{n_0^2}[/tex] for én bestemt [tex]n_0=1,2,...[/tex], så vil dette leddet være lik [tex]\frac{1}{0}[/tex] og rekken divergerer. Altså konvergerer rekken for alle [tex]x\neq\frac{-1}{n_0^2}[/tex] der [tex]n=1,2,...[/tex]

I rottesten skal man vel ta n-te rota, og det er vel mest anvendbart for potensrekker, noe dette ikke er.