Løsningsforslag:
[tex]$$a)\;{{ds} \over {dt}} = k \cdot \left( {N - S} \right)$$[/tex]
Her er [tex]$${{ds} \over {dt}}$$[/tex] individer som blir smittet per tidsenhet.
[tex]k[/tex] er proporsjonalitetsfaktoren og [tex]$$\left( {N - S} \right)$$[/tex] friske indivier (hele bestanden [tex]N[/tex] minus de syke [tex]S[/tex])
[tex]$$b)\;{{ds} \over {dt}} = - k \cdot \left( {N - S} \right)\;\;\left| { \cdot {{dt} \over {\left( {N - S} \right)}}} \right.$$[/tex]
Legg merke til minustegnet vi satt inn; fordi det skal jo være en nedgang av friske personer.
[tex]$$\int {{{ds} \over {\left( {N - S} \right)}} = - \int k \;dt} $$[/tex]
[tex]$$\ln \left| {N - S} \right| = - kt + C$$[/tex]
[tex]$$\left| {N - S} \right| = {e^{ - kt + C}} = {e^{ - kt}} \cdot {e^C}$$[/tex]
[tex]$$N - S = \pm A{e^{ - kt}}$$[/tex]
[tex]$$\underline {S\left( t \right) = N - A{e^{ - kt}}} $$[/tex]
[tex]$$S\left( 0 \right) = 100$$[/tex]
[tex]$$N - A{e^{ - k \cdot 0}} = 100$$[/tex]
[tex]$$N - A = 100 \Rightarrow A = N - 100 = 1000 - 100 = \underline {900} $$[/tex]
[tex]$$\underline{\underline {S\left( t \right) = 1000 - 900{e^{ - kt}}}} $$[/tex]
[tex]$$c)\;S\left( 4 \right) = 400$$[/tex]
[tex]$$1000 - 900{e^{ - k \cdot 4}} = 400$$[/tex]
[tex]$${e^{ - k \cdot 4}} = {{400 - 1000} \over { - 900}} = {{ - 600} \over { - 900}} = {2 \over 3}$$[/tex]
[tex]$$ - k \cdot 4 = \ln {2 \over 3}$$[/tex]
[tex]$$k = {{\ln {2 \over 3}} \over { - 4}} \approx \underline {0,1014} $$[/tex]
[tex]$$\underline {S\left( t \right) = 1000 - 900{e^{ - 0,1014t}}} $$[/tex]
[tex]$$1000 - 900{e^{ - 0,1014t}} = 500$$[/tex]
[tex]$${e^{ - 0,1014t}} = {{500 - 1000} \over { - 900}} = {{ - 500} \over { - 900}} = {5 \over 9}$$[/tex]
[tex]$$ - 0,1014t = \ln {5 \over 9}$$[/tex]
[tex]$$t = {{\ln {5 \over 9}} \over { - 0,1014}} \approx \underline{\underline {5,8\;{\rm{maaneder}}\;{\rm{el}}{\rm{. 5 maaneder og 15 dager}}}} $$[/tex]
Spørsmål: Hvilken funksjon har proporsjonalitetsfaktoren [tex]k[/tex] egentlig? Skal denne verdien sørge for en form for lik stigning/nedgang?
Det jeg gjorde med minustegnet, er det lovlig? (så det på formelen oppgitt i oppgaven at jeg måtte gjøre det slik) Og det gav jo en logisk mening også mener jeg.
