Cosinus i konturintegral

[ntnustudent1]

Hei,

Her kommer en nøtt fra det amerikanske skolesystemet. Har prøvd lenge her nå, men sliter fælt. Håper noen kan hjelpe meg.

Oppgavetekst:

Ved hjelp av et passende konturintegral, evaluer følgende integral:

[tex]\int_{0}^{2\pi }\frac{cos\theta }{3 + 2cos\theta} d\theta[/tex]

Tusen takk

[wingeer]

Kanskje dette kan hjelpe?

[ntnustudent1]

Det er nok noe sånt man kan gjøre. Jeg har byttet ut for cosinus, isolert 1/2j utenfor integralet og tatt partial fractions. Men jeg kommer meg ikke videre.

Det er mulig det er jeg som har regnet feil, for jeg får lite intuitive poles, og uten poles ingen residues..

Kanskje du ser hvordan det skal gjøres?

[ntnustudent1]

Noen som kan?

[Vektormannen]

Det skal ikke være nødvendig med delbrøkoppspaltning (partial fractions) her.
Fra grensene i integralet er det klart at enhetssirkelen vil være en lur kurve å integrere rundt. Da må vi altså finne et komplekst integral som er slik at når vi lar [tex]z = e^{i\theta}[/tex] så får vi ut nøyaktig det integralet du har her.

Det første vi må gjøre for å gå "baklengs" tilbake til et komplekst integral er å se på hvordan vi kan få uttrykt cosinus med eksponensialfunksjonen. Da har vi at [tex]\cos \theta = \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})[/tex]. Men når vi integrerer langs enhetssirkelen så skal jo variabelen z være på akkurat formen [tex]z = e^{i\theta}[/tex]. Altså er [tex]\cos \theta = \frac{1}{2}(z + z^{-1})[/tex]. Altså kan integralet ditt skrives slik:

[tex]\int_0^{2\pi} \frac{\cos \theta}{3 + 2\cos \theta} d\theta = \int_{C} \frac{\frac{1}{2}(z+z^{-1})}{3+2\cdot \frac{1}{2}(z+z^{-1})}d\theta[/tex]

der C er enhetssirkelen. Det som gjenstår nå er at vi fortsatt har [tex]d\theta[/tex]. Men nå vet du jo hvordan z avhenger av [tex]\theta[/tex], så da kan du vel finne et uttrykk for [tex]dz[/tex]? Hvis du får til det og pynter litt på integranden så tror jeg det skal bli ganske lett å finne polene og residyene.